MATEMATICA III

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MATEMÁTICA APLICADA
Unidade III
5 APLICAÇÕES DE FUNÇÕES NA ECONOMIA E ADMINISTRAÇÃO
5.1 Demanda, oferta e equilíbrio de mercado
Você já deve ter ouvido falar em oferta e em demanda. A relação entre oferta e demanda é estudada na 
microeconomia como uma forma de compreender a formação dos preços do mercado. Mercado, por sua 
vez, é um conjunto de dispositivos que permitem que compradores e vendedores de um bem ou serviço 
sejam capazes de comercializá-lo. Vamos, a seguir, compreender os principais fundamentos desse tema.
5.1.1 Oferta de mercado
Segundo Vasconcellos e Garcia (2019), a oferta de determinado bem ou serviço representa as 
quantidades que produtores estão dispostos a oferecer ao mercado em certo intervalo de tempo (dia, 
mês, ano etc.). Vários fatores influenciam a oferta, mas o principal fator costuma ser o preço de venda 
do bem ou serviço.
A lei geral da oferta diz que devemos esperar uma relação direta entre preço P e quantidade 
ofertada (QO). Em sua forma mais simples, a função que representa a oferta pode ser matematicamente 
expressa pela função de 1º grau:
Q0 = aP + b (sendo a > 0)
Podemos pensar na função oferta como a função do vendedor: se o produto está mais caro, ele vai 
querer vender mais. Por isso, temos uma função crescente, com coeficiente angular positivo. O gráfico 
da função oferta é chamado de curva de oferta e é geralmente expresso com quantidades no eixo 
horizontal e com preço no eixo vertical.
 Lembrete
Em uma função de 1º grau, a é o coeficiente angular e b é o coeficiente 
linear. Se a for positivo, temos uma função crescente. Se a for negativo, 
temos uma função decrescente.
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Unidade III
 Observação
Nem sempre é possível, na prática, representar a oferta por uma 
função de 1º grau. As curvas são diferentes para cada produto, podendo 
ser retas ou não.
Mesmo que muitas vezes sejam utilizados como sinônimos, oferta é a representação de toda a função 
(ou curva) e indica o comportamento do vendedor diante dos diferentes preços. Quantidade ofertada 
é um ponto específico dessa curva, ou seja, a quantidade existente de oferta para um preço específico.
5.1.2 Demanda de mercado
De acordo com Vasconcellos e Garcia (2019), a demanda (ou procura) de um determinado bem 
ou serviço é a quantidade desse bem que os consumidores pretendem adquirir em certo intervalo de 
tempo (dia, mês, ano etc.). A procura depende de fatores que influenciam as escolhas do consumidor, 
com destaque para o preço.
A lei geral da demanda diz que devemos esperar uma relação inversa entre preço P e quantidade 
demandada (QD). Em sua forma mais simples, a função que representa a demanda pode ser expressa pela 
função de 1º grau:
QD = aP + b (sendo a < 0)
A função demanda é a função do consumidor: se o produto está mais caro, ele tende a querer 
consumi-lo menos. Por isso, temos uma função decrescente, com coeficiente angular negativo. O gráfico 
da função demanda é chamado de curva de demanda e é geralmente expresso com quantidades no 
eixo horizontal e com preço no eixo vertical.
Se você está atento ao conteúdo que estudamos anteriormente, deve ter estranhado o fato de 
os economistas posicionarem o preço, que aparece como variável independente nas leis das funções, 
no eixo vertical. Segundo Weaver (2017), isso se deve a fatores históricos: o economista inglês Alfred 
Marshall não seguiu a convenção tradicional matemática em suas publicações sobre curvas de oferta 
e demanda, tendo influenciado os trabalhos subsequentes da área. De qualquer forma, se pararmos 
para analisar o contexto, existe uma influência mútua entre as variáveis dessas funções. Por exemplo, a 
quantidade demandada influencia no preço e vice-versa.
Assim como acontece para a oferta, demanda é a representação de toda a função (ou curva) e 
indica o comportamento do consumidor diante da variação preços. Quantidade demandada é um ponto 
específico da curva, ou seja, a quantidade existente de demanda para um preço específico.
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 Observação
Nem sempre é possível, na prática, representar a demanda por uma 
função de 1º grau. As curvas são diferentes para cada produto, podendo ser 
retas ou não, pois dependem do comportamento dos consumidores.
5.1.3 Fatores de influência da oferta e da demanda
Como já mencionado, na realidade, a oferta e a demanda de bens ou serviços são afetadas por 
diversos outros fatores, não apenas pelo preço. Entre esses fatores, podemos citar os mostrados a seguir.
Quadro 3 
Fatores que influenciam a oferta Fatores que influenciam a demanda
preço
custo dos insumos
disponibilidade dos insumos
tecnologia
concorrência
demanda
impostos
preço
renda dos consumidores
preço de produtos similares
gosto pessoal
marca
atendimento
qualidade
propaganda
Mudanças nesses fatores de influência, na prática, são responsáveis por deslocamentos nas curvas 
de oferta e demanda ao longo do tempo. Como nosso objetivo é se ater aos fundamentos desse tema, 
vamos considerar que todos os fatores de influência, exceto o preço, se manterão inalterados.
Exemplo de aplicação
Pense nos fatores que levam você a querer consumir maior ou menor quantidade de determinado 
produto.
5.1.4 Preço e quantidade de equilíbrio
O equilíbrio de mercado de determinado bem ou serviço é o ponto em que o preço não tende a 
mudar. Matematicamente, temos equilíbrio quando:
Q0 = QD
Nessa situação, tanto vendedores quanto compradores estarão satisfeitos, pois não há falta nem 
sobra do produto no mercado, já que a quantidade ofertada é igual à quantidade demandada.
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Unidade III
Graficamente, devemos procurar o ponto onde as curvas de oferta e de demanda do produto se 
cruzam. Esse ponto apresenta o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio. Observe a figura 
seguinte, que mostra curvas de oferta e de demanda de um produto hipotético disponível no mercado. 
Temos Q representando quantidade de itens do produto no eixo horizontal, assim como P representando 
o preço da unidade do produto no eixo vertical. O segmento azul, identificado por O, representa a curva 
de oferta. O segmento laranja, identificado por D, representa a curva de demanda. Sobre a curva de 
oferta, encontramos três pontos em destaque. Vamos discuti-los.
• Ponto E: nesse ponto, a quantidade ofertada é igual à quantidade demandada, correspondendo 
a 40 unidades do produto (QO = QD = 40). Isso ocorre quando o preço de mercado do produto 
corresponde a 200 unidades monetárias (P = 200). Nessa situação, ocorre equilíbrio de mercado, 
pois o preço é justo tanto a quem vende quanto a quem consome.
• Ponto A: nesse ponto, a quantidade ofertada é de 25 unidades (QO = 25), a um preço de 125 unidades 
monetárias (P = 125). Observe que a quantidade ofertada está abaixo do ponto de equilíbrio, assim 
como o preço. Nessa situação, a quantidade demandada será alta, e temos QD = 55. Além disso, 
ocorre escassez de produtos no mercado, já que baixos preços tendem a favorecer o consumo.
• Ponto B: nesse ponto, a quantidade ofertada é de 55 unidades (QO = 55), a um preço de 275 unidades 
monetárias (P = 275). Observe que a quantidade ofertada está acima do ponto de equilíbrio, assim 
como o preço. Nessa situação, a quantidade demanda será baixa, e temos QD = 25. Além disso, 
ocorre excesso de produtos no mercado, já que altos preços desfavorecem o consumo.
400
350
300
250
200
150
100
50
0
10 30 50 7020 40 60
Q
D
Q
B
E
A
P
Figura 38 – Curvas de oferta e demanda de um bem
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 Saiba mais
O estudo da microeconomia, ou teoria dos preços, é muito mais 
complexo e abrangente do que a introdução que abordamos neste 
livro-texto. O livro Fundamentos de economia, de Vasconcellos e Garcia, 
traz um aprofundamento desses conceitos de forma acessível, mesmo 
àqueles que não têm formação na área de ciências econômicas. Leia:
VASCONCELLOS, A. S.; GARCIA, M. E. Fundamentos de economia. São 
Paulo: Saraiva, 2019.
Vejamos o exemplo a seguir.
Exemplo de aplicação
Determinado serviço oferecidopor uma empresa do ramo de automação apresenta as seguintes 
curvas de oferta e de demanda:
QO = –16 + 0,12P
QD = 5 – 0,006P
Considerando valores expressos em reais, determine o ponto de equilíbrio de mercado desse serviço.
Resolução
Para encontrarmos o ponto de equilíbrio de mercado desse serviço, basta igualarmos QO a QD. Dessa 
forma, tanto a empresa que oferece o serviço quanto seus consumidores tendem a ficar satisfeitos. 
Perceba que a curva de oferta é crescente, enquanto a curva de demanda é decrescente, conforme 
esperado. Na prática, para encontrar P, devemos igualar as funções e isolar a incógnita. Vamos à resolução.
Q0 = QD
-16 + 0,12P = 5 - 0,006P
0,12P + 0,006P = 5 + 16
0,126P = 21
P = 166,67
Logo, o preço de equilíbrio do produto é de R$166,67.
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Unidade III
5.2 Funções receita, custo e lucro
Os conceitos de receita, custo e lucro são abordados em diferentes áreas, como administração, 
economia e contabilidade. Elas dizem respeito ao gerenciamento financeiro empresarial. Vamos conhecer 
alguns conceitos a seguir, considerando uma empresa uniproduto.
Receita total
A receita total de vendas diz respeito a toda quantia arrecadada por uma empresa com as vendas de 
seus produtos. Seja q a quantidade vendida de determinado produto e P o seu preço unitário de venda. 
Nesse caso, a receita total RT(q) é dada por:
RT(q) = P × q
Em determinados casos, podemos considerar preço variável, o que fará com que RT não se comporte 
como função de 1º grau.
Custo total
O custo total abrange os gastos provenientes da produção de bens ou serviços, podendo ser 
subdividido em custo fixo e em custo variável, conforme explicação a seguir.
• Custo fixo (CF): corresponde à parcela do custo total que independe da quantidade produzida 
ou são pouco suscetíveis à variação. Portanto, se a empresa reduzir a produção, os custos fixos 
continuarão com o mesmo volume financeiro. Como exemplo de custos fixos, podemos citar: 
aluguéis, salários de funcionários, energia elétrica, seguros, materiais de escritório etc.
• Custo variável (CV): corresponde à parcela do custo total que depende diretamente da quantidade 
produzida. Portanto, se a empresa reduzir a produção, os custos variáveis também diminuirão. Por 
exemplo: gastos com matérias-primas, comissões, mão de obra terceirizada etc.
O custo deve ser considerado como fixo ou variável dependendo da instituição. Custos fixos, em 
geral, são os que fazem parte da estrutura do negócio. Note também que o conceito de custo fixo é 
aplicável no curto prazo. A longo prazo, não existem fatores realmente fixos. Por exemplo, os gastos 
com aluguéis, normalmente considerados como custos fixos, são reajustados de tempos em tempos, 
não é mesmo?
Também é importante frisar que, de forma geral, a matemática aplicada e a teoria microeconômica 
tradicional não costumam distinguir os conceitos de custos e despesas, como é feito na contabilidade. 
A definição contábil diz que custos são gastos associados estritamente ao processo de fabricação, 
enquanto despesas são gastos relativos ao exercício social, como gastos administrativos e com publicidade. 
Para a economia e a matemática aplicada, geralmente não é feita essa distinção, subentendendo-se 
que o conceito de custo engloba também os gastos que a contabilidade considera como despesas 
(VASCONCELLOS; GARCIA, 2019). É essa a definição que estamos adotando neste livro-texto.
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Considerando como q a quantidade produzida, podemos calcular o custo total (CT) simplesmente 
somando o termo fixo ao termo variável dos gastos (LAPA, 2012):
CT(q) = CF + CV(q)
Ponto de nivelamento (break even point)
O ponto de nivelamento, ou ponto de equilíbrio, diz respeito ao nível em que a receita total de 
vendas se iguala ao custo total de produção. Nesse ponto, não ocorre lucro nem prejuízo, ou seja, a 
receita é suficiente apenas para cobrir os custos. Matematicamente, temos o ponto de nivelamento na 
situação em que:
RT(q) = CT(q)
Lucro total
O lucro total (LT) é dado pela diferença entre as receitas de venda da empresa (RT) e os custos totais 
de produção (CT). Temos, portanto:
LT(q) = RT(q) - CT(q)
Segundo Vasconcellos e Garcia (2019), a teoria microeconômica tradicional parte da premissa de que 
as empresas têm como principal objetivo a maximização dos lucros. Logo, as empresas tendem a ajustar 
o nível de produção para o qual a diferença positiva entre RT e CT seja a maior possível.
 Observação
Ao considerar receita, custo e lucro, deve-se determinar um período. 
Por exemplo, pode-se calcular o lucro mensal, que é o lucro obtido durante 
o período de um mês.
Margem de contribuição
A margem de contribuição dita quanto um produto contribui para a cobertura do custo variável e a 
geração do lucro. Podemos pensar em uma função margem de contribuição (MC), que matematicamente 
se comporta como:
MC = RT - CV
Temos, portanto, a diferença entre a receita total da empresa menos seus custos variáveis, lembrando 
que esses custos cobrem também o que é considerado despesa no contexto contábil. A margem de 
contribuição é a parcela da receita total que ultrapassa os custos e variáveis e que contribuirá para 
cobrir as despesas fixas e gerar o lucro.
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Unidade III
Podemos, também, calcular a margem de contribuição unitária. Nesse contexto, pensamos em 
apenas uma unidade do produto em questão, e calculamos quanto ele, individualmente, contribui para 
cobrir custos e gerar lucro. Nesse contexto, temos:
MCUnit = P - CVUnit
Na igualdade, MCUnit é a margem de contribuição unitária, P é o preço de venda do produto e CVUnit 
é o custo variável de apenas um produto.
Vamos acompanhar um exemplo simples, adaptado de Lapa (2012), que trata da função receita e 
resgata o conceito de domínio da função, que vimos na unidade passada.
Exemplo de aplicação
Uma montadora vende carros a R$ 50.500,00 a unidade. Determine a função receita e o domínio 
dessa função.
Resolução
Se chamarmos de q o número de carros vendidos, temos a seguinte função receita:
RT(q) = 50500q
Nesse contexto, o domínio fica restrito pelo significado da variável q. É claro que o número de carros 
vendidos é contado de forma inteira e não negativa. Temos, então, o seguinte domínio para a variável q:
D = N
O exemplo a seguir, adaptado de Morettin, Hazzan e Bussab (2016), trata dos conceitos de receita, 
custo e lucro e utiliza funções de 1º grau.
Exemplo de aplicação
Um produtor de camisetas personalizadas tem custo fixo mensal de R$ 5.000,00, mais custo de 
R$ 10,00 por cada unidade produzida. O preço de venda atual é de R$ 15,00 por cada camiseta. Nessas 
condições, faça o que se pede a seguir.
A) Determine as funções custo total e receita total.
B) Determine o ponto de nivelamento e a quantidade a partir da qual o produtor começa a ter lucro.
C) Determine a função lucro total.
D) Se o produtor vender 4.500 camisetas em um mês, calcule o seu lucro nesse período.
E) Determine a margem de contribuição unitária do produto.
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MATEMÁTICA APLICADA
Resolução
A) Vejamos as funções custo total (CT) e receita total (RT) em função da quantidade q produzida.
CT(q) = 5000 + 10q
RT(q) = 15q
B) Vejamos o ponto de nivelamento e a quantidade a partir da qual o produtor começa a ter lucro.
RT(q) = CT(q)
15q = 5000 + 10q
15q - 10q = 5000
5q = 5000
q = 1000
O nivelamento ocorre quando o produtor vende mil camisetas. Portanto, para que ele tenha lucro, 
precisa vender pelo menos 1001 camisetas.
C) Vejamos a função lucro total.
LT(q) = RT(q) - CT(q)
LT(q) = 15q - (5000 + 10q)
LT(q) = 15q - 5000 - 10q
LT(q) = -5000 + 5q
D) Se o produtor vender 4.500 camisetas em um mês, qual será seu lucro nesse período? Vejamos.
LT(q) = -5000 + 5q
LT(4500) = -5000 + 5 × 4500
LT(4500) = 17500
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Unidade III
Logo, no mês em que o produtor vender 4.500 camisetas, obterá lucro de R$ 17.500,00.
E) Vamos calcular a margem de contribuição unitária MCunit do produto.
MCUnit = P - CVUnit
MCUnit = 15 - 10
MCUnit = 5
A margemde contribuição unitária é de R$ 5,00. Portanto, cada camiseta vendida colabora com 
R$ 5,00 para cobrir custos fixos e gerar lucro.
O exemplo a seguir, adaptado de Morettin, Hazzan e Bussab (2016), utiliza funções de 2º grau.
Exemplo de aplicação
O preço de um produto é ajustado de acordo com sua demanda, descrita pela função P = 10 - q, em 
que P representa preço de venda e q a quantidade demandada. Seu custo total em determinado período 
é matematicamente descrito por CT(q) = 20 + q. Sabe-se que, para esse produto, faz sentido q assumir 
qualquer valor racional não negativo. Nessas condições, faça o que se pede a seguir.
A) Determine a função receita total e o preço que a maximiza.
B) Determine a função lucro total e o preço que a maximiza.
C) Determine os pontos de nivelamento.
Resolução
A) Veja a função receita total RT a seguir.
RT(q) = P × q
RT(q) = (10 - q) × q
RT(q) = 10q - q2
Você lembra que comentamos que o preço influencia a demanda e vice-versa? Nesse contexto, 
temos o preço dado em função da quantidade. Note que, ao ajustar o preço de acordo com a quantidade 
demandada, obtemos uma receita matematicamente descrita por uma lei quadrática. No caso, temos 
uma parábola voltada para baixo, o que indica que a receita é maximizada em apenas um ponto, dado 
105
MATEMÁTICA APLICADA
por seu vértice. Observando que RT representa y e q representa x, podemos calcular a quantidade que 
maximiza a receita pela abscissa do vértice:
V
b 10 10 10
x 5
2a 2( 1) 2 2
= − = − = − = =
− −
Com isso, sabemos que a receita máxima é obtida na condição q = 5. Por meio da função que 
representa a demanda, vamos calcular o preço correspondente à quantidade 5:
P = 10 - q
P = 10 - 5
P = 5
Logo, o preço capaz de maximizar a receita corresponde a 5 unidades monetárias. Note que não 
estamos tratando de reais, e sim de uma unidade monetária desconhecida.
B) Veja a função lucro total LT a seguir.
LT(q) = RT(q) - CT(q) 
LT(q) = (10q - q2) - (20 + q)
LT(q) = 10q - q2 - 20 - q
LT(q) = -q2 + 9q - 20
Como a função receita é quadrática, a função lucro também é. Por meio dessa função, podemos 
calcular a quantidade capaz de maximizar o lucro. Observando que LT representa y e que q representa x, 
podemos calcular a abscissa do vértice:
V
b 9 9
x 4,5
2a 2( 1) 2
= − = − = − =
− −
Portanto, temos q = 4,5. O enunciado diz que podemos considerar valores racionais, não apenas 
inteiros, como domínio da função. Essa restrição depende do produto: não faz sentido falar em 4,5 livros, 
mas é perfeitamente possível falarmos em 4,5 toneladas de soja. Com isso, vamos novamente utilizar a 
função demanda:
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Unidade III
P = 10 - q
P = 10 - 4,5
P = 5,5
Logo, o preço capaz de maximizar o lucro corresponde a 5,5 unidades monetárias.
C) Há formas diferentes de encontrarmos o nivelamento. Uma delas consiste em igualar a função 
lucro a zero, já que nivelamento significa lucro nulo. Vamos adotar esse caminho:
LT(q) = -q2 + 9q - 20
-q2 + 9q - 20 = 0
Para encontrarmos os valores de q capazes de zerar a função lucro, podemos utilizar a fórmula 
de Bhaskara:
2 2b 4ac 9 4( 1)( 20) 81 80 1∆ = − = − − − = − =
b 9 1 9 1
x
2a 2( 1) 2
− ± ∆ − ± − ±= = =
− −
9 1 8
x ' 4
2 2
− + −= = =
− −
9 1 10
x '' 5
2 2
− − −= = =
− −
Como encontramos duas raízes reais distintas, temos dois pontos de nivelamento: um ocorre para 
q=4 e outro ocorre para q=5. Pelo gráfico da função lucro, percebemos que o lucro só será maior que 0 
na condição 4<q<5.
107
MATEMÁTICA APLICADA
1
0 1 2 3 4 5
-1
Figura 39 
Vejamos mais um exemplo.
Exemplo de aplicação
(Fundatec, 2013) As curvas de oferta e de demanda podem ser aplicadas a uma diversidade de 
situações em economia, como para avaliar o efeito de tabelamentos. Dispõe-se da curva de demanda, que 
é dada por Qd=930–6P, e da curva de oferta, dada por Qs=420+4P, sendo Qd a quantidade demandada, 
Qs a quantidade ofertada e P os preços. Nesse sentido, analise as seguintes afirmativas.
I – A quantidade de equilíbrio em mercado competitivo é de 624 unidades.
II – Se o governo tabelar o preço em R$ 40, haverá excesso de oferta em relação à demanda de 
110 unidades.
III – Se o governo tabelar o preço em R$ 40 por unidade, haverá excesso de demanda em relação à 
oferta de 110 unidades.
É correto o que se afirma apenas em:
A) I.
B) II.
C) III.
D) I e II.
E) I e III.
108
Unidade III
Resolução
Vamos calcular primeiramente o preço de equilíbrio de mercado, em que a quantidade demandada 
é igual à quantidade ofertada.
Qd = Qs
930 - 6P = 420 + 4P
-6P - 4P = 420 - 930
10P = 510
P = 51
Podemos, agora, calcular a quantidade de equilíbrio utilizando a função de demanda ou de oferta 
(tanto faz, pois a quantidade será a mesma no equilíbrio).
Qd = 930 - 6P
Qd = 930 - 6 × 51
Qd = 930 - 306
Qd = 624
Com isso, sabemos que a afirmativa I está correta. O enunciado sugere tabelamento de preços a 
R$ 40,00, o que acarreta fuga da situação de equilíbrio de mercado. Vamos calcular o que ocorre com 
as quantidades demandadas e ofertadas nessa condição.
Qd = 930 - 6P
Qd = 930 - 6 × 40
Qd = 930 - 240
Qd = 690
Qs = 420 - 4P
Qs = 420 - 4 × 40
Qs = 420 - 160
Qs = 580
109
MATEMÁTICA APLICADA
Como esperado, com preço abaixo do equilíbrio, ocorre excesso de quantidade demandada, afinal, os 
consumidores vão considerar o produto barato e tendem a desejar consumir mais.
A diferença entre Qd e Qs é dada por:
Qd - Qs = 690 - 580 = 110
Temos, portanto, uma quantidade demandada que excede em 110 unidade a quantidade ofertada. 
Logo, a afirmativa II é incorreta, e a afirmativa III é correta.
6 MATRIZES
Você já mexeu com planilhas? Se sim, você já mexeu com a estrutura de matrizes e nem se deu 
conta. Segundo Guedes (2014), matrizes são aplicadas na área computacional com o intuito de resolver 
cálculos complexos de estrutura, problemas estatísticos, entre outras situações. As linguagens de 
programação costumam conter uma estrutura de dados denominada matriz. Podemos pensar em uma 
matriz como uma tabela, que tem m linhas e n colunas identificadas de forma a “endereçar” cada um 
de seus elementos. É possível também realizar cálculos entre matrizes e utilizar determinantes, que nos 
permitem resolver sistemas de equações.
Observe a tabela seguinte. Nessa tabela, as linhas representam pessoas que fazem parte de uma 
família, e as colunas representam características. Existem 15 elementos numéricos, dispostos nos 
posicionamentos adequados. Por exemplo, se consultarmos o cruzamento entre a última linha e a última 
coluna, descobrimos que o Júnior tem 30 anos de idade.
Tabela 14 – Exemplo de tabela cujos dados 
são dispostos em 5 linhas e 3 colunas
Altura (metros) Peso (quilogramas) Idade (anos)
João (pai) 1,82 93 62
Mariana (mãe) 1,70 70 60
Jorge (irmão) 1,85 80 35
Marina (irmã) 1,74 78 33
Júnior (irmão) 1,80 75 30
Fonte: Guedes (2014, p. 78).
Vamos utilizar os dados da tabela para nos aproximarmos da linguagem matemática. Se ocultarmos 
os títulos das linhas e colunas, ficaremos apenas com os 15 elementos que constituem a nossa matriz, 
que estarão dispostos em 5 linhas (m=5) e 3 colunas (n=3). Portanto, dizemos que temos uma matriz de 
ordem 5 x 3 (lê-se: 5 por 3). Como precisamos de dois índices para localizar um elemento (número 
da linha e número da coluna), podemos dizer que a dimensão D de uma matriz é igual a 2. Veja a 
figura seguinte:
110
Unidade III
D = 2
(m x n)
n = 3
m
 =
 5
1,82 93 62
1,70 70 60
1,85 80 35
1,74 78 33
1,80 75 30
Figura 40 – Matriz M de ordem 5 x 3
Fonte: Guedes (2014, p. 80).
Na matemática, as matrizes costumam abrigar seus elementos entre parênteses, colchetes ou barras 
duplas verticais, como veremos a seguir.
6.1 Representação genérica
Considere os símbolos a seguir:
• m: número total de linhas da matriz.
• n: número total de colunas da matriz.
• i: índice de representação da linha do elemento.
• j: índice de representação da coluna do elemento.
• X: nome escolhido para a matriz.
• xij: elemento genéricoda matriz X.
A matriz X é uma tabela retangular de ordem m × n, ou seja, composta por m linhas e n colunas. 
Temos m x n elementos (ou termos) xij, cada um deles representado por um número real. Podemos, 
portanto, endereçar cada elemento individualmente indicando sua linha i e sua coluna j. Observe a 
matriz X a seguir, representada de três maneiras.
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn m n
x x x
x x x
X
x x x ×
 
 
 =
 
 
 


  

111
MATEMÁTICA APLICADA
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn m n
x x x
x x x
X
x x x ×
 
 
 =
 
 
 


  

11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn m n
x x x
x x x
X
x x x ×
=


  

Por exemplo, temos o que segue.
• O elemento x11 é um número real posicionado na 1ª linha e na 1ª coluna da matriz X.
• O elemento x12 é um número real posicionado na 1ª linha e na 2ª coluna da matriz X.
• O elemento x2n é um número real posicionado na 2ª linha e na última coluna da matriz X.
• O elemento xmn é um número real posicionado na última linha e na última coluna da matriz X.
 Observação
Tanto faz representar matrizes utilizando parênteses, colchetes ou 
barras duplas verticais. O significado não é alterado, e todas essas formas 
são encontradas na literatura.
Vamos acompanhar alguns exemplos simples envolvendo matrizes.
Exemplo de aplicação
Exemplo 1. Considere a matriz A dos elementos aij, apresentada a seguir, e faça o que se pede.
3 7 1
A
2 8 0
− 
=  − 
A) Determine os elementos a13 e a22 da matriz A.
B) Determine a ordem da matriz A.
C) Determine o número de termos da matriz A.
112
Unidade III
Resolução
A) Vejamos os elementos a13 e a22 da matriz A.
a13 = -1 (elemento que se encontra na 1ª linha e 3ª coluna)
a22 = 8 (elemento que se encontra na 2ª linha e 2ª coluna)
B) Como temos 2 linhas e 3 colunas, a matriz A possui ordem 2 x 3.
C) A matriz A tem ordem 2 x 3, o que resulta em 2 x 3 = 6 termos (elementos).
Exemplo 2. Escreva a matriz B = [bij]3x2, de forma que bij = i
2 - 2j.
Resolução
Temos que escrever uma matriz do nome B, formada pelos elementos genéricos bij, de ordem 3 x 2. 
Esperamos, portanto, o seguinte formato:
11 12
21 22
31 32 3 2
b b
B b b
b b ×
 
 =  
  
O valor de cada elemento é dado em função de seus índices, de acordo com a lei bij = i
2 - 2j. Vamos 
calcular cada um deles, conforme mostrado a seguir:
b11 = 1
2 - 2 x 1 = 1 - 2 = - 1
b12 = 1
2 - 2 x 2 = 1 - 4 = - 3
b21 = 2
2 - 2 x 1 = 4 - 2 = 2
b22 = 2
2 - 2 x 2 = 4 - 4 = 0
b31 = 3
2 - 2 x 1 = 9 - 2 = 7
b32 = 3
2 - 2 x 2 = 9 - 4 = 5
Finalmente, vamos escrever a matriz B.
3 2
1 3
B 2 0
7 5 ×
− − 
 =  
  
113
MATEMÁTICA APLICADA
6.2 Adição de matrizes
Podemos realizar a operação aritmética de adição de matrizes, desde que possuam a mesma ordem. 
Sejam as matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]mxn: a matriz resultante da adição A+B é a matriz de mesma 
ordem C = [cij]mxn, em que temos os elementos cij = aij + bij. Na prática, basta encontrarmos a soma 
entre os elementos que se encontram em mesma posição. Vejamos os exemplos a seguir.
A B C
2 4 3 5 2 3 4 5 5 9
3 6 7 1 3 7 6 1 10 7
+ +
+ = =
+ +
       
            
A B C
2 10 20 1 1 1 2 1 10 1 20 1 1 9 21
42 7 1 2 5 4 42 2 7 5 1 ( 4) 44 12 3
5 20 3 0 3 3 5 0 20 3 3 3 5 17 0
− − − + − + + − −
+ − = + + + − = −
− − + − + − + −
       
       
            
 Observação
Uma matriz quadrada é uma matriz que tem m=n, ou seja, que tem o 
número de linhas igual ao número de colunas. Matrizes de ordem 2 x 2 ou 
3 x 3 são exemplos de matrizes quadradas.
6.3 Subtração de matrizes
Se você compreendeu como fazer adição entre matrizes, já deve ter entendido o que fazer no caso 
da subtração. Para realizarmos a operação aritmética de subtração de matrizes, também precisamos que 
elas tenham a mesma ordem. Sejam as matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]mxn: a matriz resultante da subtração 
A–B é a matriz de mesma ordem C = [cij]mxn, em que temos os elementos cij = aij - bij. Acompanhe os 
exemplos a seguir.
A B C
2 4 3 5 2 3 4 5 1 1
3 6 7 1 3 7 6 1 4 5
− − − −
= =
− − −
−                   
A B C
2 10 20 1 1 1 2 1 10 1 20 1 3 11 19
42 7 1 2 5 4 42 2 7 5 1 ( 4) 40 2 5
5 20 3 0 3 3 5 0 20 3 3 3 5 23 6
− − − − − − − − −
− = − − − − =
− − − − − − − − −
−
       
       
            
114
Unidade III
Vamos estudar mais alguns exemplos envolvendo matrizes.
Exemplo de aplicação
Nas tabelas a seguir, encontramos a receita obtida por uma editora com a venda de livros didáticos 
no ano passado. A tabela A é referente apenas à receita do 1º semestre do ano, enquanto a tabela B 
mostra toda a receita anual. Utilizando operações entre matrizes, escreva a matriz C, que corresponde à 
receita obtida no 2º semestre do ano passado.
Tabela 15 
Tabela A Tabela B
Receita, em R$ Receita, em R$
Português 47.560,20 Português 56.394,82
Biologia 32.867,00 Biologia 45.402,99
Geografia 29.542,23 Geografia 41.564,08
História 31.754,89 História 52.126,22
Matemática 53.129,81 Matemática 60.911,60
Física 52.567,11 Física 56.975,00
Química 45.081,00 Química 50.870,45
Resolução
Devemos escrever uma matriz de nome C, que representa a receita da editora obtida no 2º semestre 
do ano passado. Para isso, basta “pegarmos” a receita anual e subtrairmos a quantia referente ao 
1º semestre. Temos, portanto: C = B – A. Representando as matrizes, ficamos com a indicação a seguir.
B A
56.394,82 47.560,20 8.834,62
45.402,99 32.867,00 12.535,99
41.564,08 29.542,23 12.021,85
52.126,22 31.754,89 20.371,33
60.911,60 53.129,81 7.781,7
56.975,00 52.567,11
50.870,45 45.081,00
− =
   
   
   
   
   
   
   
C
9
4.407,89
5.789,45
 
 
 
 
 
 
 
Temos, no caso, matrizes-coluna, que é a denominação dada a matrizes que têm uma única coluna. 
A ordem das matrizes é 7 x 1, de forma a concordar com os dados apresentados nas tabelas.
115
MATEMÁTICA APLICADA
6.4 Multiplicações
A operação de multiplicação envolvendo matrizes pode acontecer de duas formas:
• a multiplicação de um número real por uma matriz;
• a multiplicação de duas matrizes.
Veremos essas duas formas.
6.4.1 Multiplicação de um número real por uma matriz
Nessa situação, temos uma operação bem simples. Se temos uma matriz A = [aij]mxn e um número real k, 
a matriz kA, resultante da multiplicação entre k e A, é composta por elementos kaij, mantendo-se a 
mesma ordem de A. Em outras palavras, basta “pegarmos” o número k e multiplicarmos tal número por 
todos os elementos da matriz, sem mudarmos seus posicionamentos.
Considere a matriz A a seguir:
3 7 1
A
2 8 0
− 
=  − 
Vamos determinar 3A e 5,6A. Vejamos.
3 7 1 3 3 3 7 3 ( 1) 9 21 3
3A 3
2 8 0 3 ( 2) 3 8 3 0 6 24 0
− × × × − −     
= × = =     − × − × × −     
3 7 1 5,6 3 5,6 7 5,6 ( 1) 16,8 39,2 5,6
5,6A 5,6
2 8 0 5,6 ( 2) 5,6 8 5,6 0 11,2 44,8 0
− × × × − −     
= × = =     − × − × × −     
6.4.2 Multiplicação entre matrizes
A operação de multiplicação de uma matriz por outra matriz é um pouco mais complexa e requer 
maior atenção. Para que seja possível realizar tal operação, é imprescindível que a primeira matriz tenha 
o número de colunas igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz resultante, por sua vez, 
tem o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda.
Sejam as matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]mxn. A matriz que indica o produto AB tem ordem m x q. 
Observe o esquema a seguir.
116
Unidade III
Amxn x Bnxq = ABmxq
n=n
mxq
Uma vez estabelecida a possibilidade da operação e a ordem da matriz resultante, vamos mostrar 
como calcular os elementos abij de AB. Devemos multiplicar ordenadamente os elementos da linha i de 
A e os elementos da coluna j de B, somando os resultados dessas multiplicações. Vamos acompanhar um 
exemplo para ficar mais claro esse procedimento. Para isso, considere as duasmatrizes A e B a seguir.
2 3
3 7 1
A
2 8 0 ×
 
=  
 
 e 
3 2
1 3
B 2 0
7 5 ×
 
 =  
  
Vamos verificar se é possível realizar a multiplicação de A por B. A matriz A tem 3 colunas, enquanto 
B tem 3 linhas. Logo, podemos prosseguir com a operação. A matriz resultante, AB, tem ordem 2 x 2: 
duas linhas como na matriz A e duas colunas como na matriz B. Esperamos, portanto, o formato a seguir.
11 12
21 22 2 2
ab ab
AB
ab ab ×
 
=  
 
Para calcular os elementos, “andamos” nas linhas de A e nas colunas de B. Por exemplo, para o 
elemento ab11, “andamos” na linha 1 de A (elementos 3, 7 e 1) e na coluna 1 de B (elementos 1, 2 e 7), 
multiplicando-os ordenadamente e somando os resultados. Ficamos com:
a b11 = (3 × 1) + (7 × 2) + (1 × 7) = 3 + 14 + 7 = 24
Para o elemento ab12, usamos a linha 1 de A e a coluna 2 de B. Para o elemento ab21, usamos a linha 2 de A 
e a coluna 1 de B. Finalmente, para calcular ab22, usamos a linha 2 de A e a coluna 2 de B. Note que os 
índices dos elementos indicam qual linha e qual coluna das matrizes A e B você precisa utilizar. Vamos 
ao cálculo completo.
B
A 1 3
3 7 1 3 1 7 2 1 7 3 3 7 0 1 5 24 14
AB 2 0
2 8 0 2 1 8 2 0 7 2 3 8 0 0 5 18 6
7 5
× + × + × × + × + ×
= × = =
× + × + × × + × + ×
 
      
             
Vamos acompanhar um exemplo contextualizado.
117
MATEMÁTICA APLICADA
Exemplo de aplicação
Um técnico de informática que presta serviço para empresas precisa realizar orçamentos de peças 
para dois clientes. O cliente 1 precisa de 2 processadores, 5 placas-mãe, 10 monitores e 15 teclados. Já 
o cliente 2 precisa de 6 processadores, 5 monitores e 22 teclados. A tabela seguinte mostra os preços 
das peças requeridas em duas lojas distintas, chamadas de loja 1 e loja 2. Utilizando multiplicação de 
matrizes, escreva a matriz C, que corresponde aos orçamentos de cada cliente em cada uma destas lojas, 
supondo que todos os produtos devam ser adquiridos no mesmo estabelecimento.
Tabela 16 
Loja 1 Loja 2
Processador 2.073,22 2.041,00
Placa mãe 579,90 599,99
Monitor 445,23 452,90
Teclado 28,80 24,20
Resolução
Antes de escrever a matriz C com os resultados dos orçamentos, vamos escrever as matrizes 
que compõem o enunciado. A tabela, com os preços dos produtos em cada loja, pode ser descrita 
diretamente como uma matriz, que chamamos de A.
4 2
2.073,22 2.041,00
579,90 599,99
445,23 452,90
28,80 24,20
A
×
 
 
 =
 
 
 
Na matriz A, assim como na tabela, as linhas indicam cada tipo de peça a ser adquirida. Lembra-se de 
que correspondemos linhas de uma matriz com a coluna da outra? Pois bem, na matriz B, vamos colocar 
cada uma das peças como colunas, mantendo as linhas para diferenciar um cliente do outro. Observe.
2 4
2 5 10 15 Cliente1
B
6 0 5 22 Cliente2×
 
=  
 
Note que o elemento b22 é zero (b22 = 0), visto que o cliente 2 não deseja adquirir nenhuma placa 
mãe. Pois bem, agora basta multiplicarmos A por B e teremos nossos orçamentos? Se você pensou isso, 
vamos com calma. Observe as matrizes novamente. Os itens de cada cliente encontram-se dispostos nas 
linhas da matriz B, enquanto os preços de cada item nas lojas encontram-se nas colunas da matriz A. 
118
Unidade III
Para andarmos nas linhas de B e nas colunas de A, devemos multiplicar B por A. Logo, BA=C. Assim, 
conseguiremos os orçamentos solicitados. Vamos primeiro determinar a ordem de C:
B2x4 x A4x2 = C2x2
Agora, vamos realizar a multiplicação de matrizes.
A
B
2.073,22 2.041,00
579,90 599,99
445,23 452,90
28,80
2 5 10 15
C
6 0 5 22
24,20
 
    = ×    
 
 
2073,22 5 579,90 10 445,23 15 28,80 2041, 00 5 599,99 10 452,90 15 24,20
2073,22 579,90 445,23 28,80 2041, 00 599,99 4
2 2
6 0 5 22 6 0 5 252,90 2 24,20
C × ×=
×
+ × + × + × + ×
+ × + × + × × + × + × + ×
+ × + × 
  
Cliente1
Cliente2
Loja1 Loja2
11.930,24 11.973,95
C
15.299,07 15.042,90
=   
Logo, é financeiramente mais vantajoso adquirir as peças do cliente 1 na loja 1 e as peças do cliente 2 
na loja 2, levando em consideração que todos os itens de um mesmo cliente devem ser adquiridos na 
mesma loja.
6.5 Determinantes
6.5.1 Definição
Um determinante é um número real obtido a partir dos elementos que compõem uma matriz 
quadrada. Com base nos determinantes das matrizes, é possível resolvermos diversos problemas de 
forma sistemática, ou seja, seguindo um algoritmo de resolução. Uma das aplicações mais comuns 
para determinantes consistem na resolução de sistemas de equações lineares, que utilizaremos para 
encontrar a função que se ajusta a conjuntos de pares ordenados.
Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares extraídas de um mesmo 
contexto. Podemos trabalhar com essas equações em conjunto, para que possamos determinar os 
valores das incógnitas em questão.
A utilização de determinantes é uma das maneiras de trabalhar com equações lineares. Vamos, 
primeiramente, aprender a encontrar os determinantes de matrizes de ordem 2 x 2 e 3 x 3.
119
MATEMÁTICA APLICADA
Determinante de matriz de ordem 2 x 2
O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 pode ser encontrado da seguinte maneira:
• calculamos o produto dos elementos da diagonal principal da matriz;
• subtraímos, do valor do produto dos elementos da diagonal principal, o produto da 
diagonal secundária.
 Observação
Em uma matriz quadrada A de ordem 2, a diagonal principal é formada 
pelos elementos a11 e a22, enquanto a diagonal secundária é formada pelos 
elementos a12 e a21.
Seja a matriz quadrada A mostrada a seguir, com as indicações da diagonal principal e da 
diagonal secundária.
11 12
21 22 2 2
a a
A
a a ×
 
=  
 
Diagonal 
secundária
Diagonal 
principal
Figura 41 
Podemos calcular o determinante de A (detA) da seguinte forma:
11 12
11 22 12 21
21 22
a a
det A a a a a
a a
= = × − ×
 Observação
O determinante de uma matriz pode ser expresso por linhas simples 
verticais que envolvem os elementos da matriz em questão.
Para fixar o entendimento, vamos calcular o determinante das matrizes X e Y a seguir.
3 7
X
2 8
 
=  − 
 e 
3 7
Y
9 8
− 
=  
 
120
Unidade III
3 7
det X (3 8) (7 ( 2)) 24 ( 14) 24 14 38
2 8
= = × − × − = − − = + =
−
3 7
det Y ( 3 8) (7 9) 24 63 87
9 8
−
= = − × − × = − − = −
Determinante de matriz de ordem 3 x 3
O determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 pode ser encontrado utilizando a Regra de 
Sarrus, cujos passos serão descritos a seguir diretamente com um exemplo numérico, para facilitar o 
entendimento.
Vamos considerar a matriz A a seguir, para a qual se deseja calcular o determinante detA.
3 3
1 2 3
A 4 5 6
7 8 9 ×
 
 =  
  
Faremos o passo a passo do cálculo de detA.
Passo 1: para começar o cálculo do determinante, repetimos as duas primeiras colunas à direita da 
matriz e ficamos com o total de 5 colunas.
1 2 3 1 2
det A 4 5 6 4 5
7 8 9 7 8
=
Passo 2: utilizando três elementos por vez, efetuamos três multiplicações paralelas à diagonal 
principal, conforme indicado pelas setas.
45 84 96
1 2 3 1 2
4 5 6 4 5
det A
7 8 9 7 8
=
 
1 5 9 45
2 6 7 84
3 4 8 96
× × =
× × =
× × =
Passo 3: utilizando três elementos por vez, efetuamos três multiplicações paralelas à diagonal 
secundária, conforme indicado pelas setas. No entanto, esses produtos dever ser multiplicados por –1, 
ou seja, seu sinal deve ser trocado.
121
MATEMÁTICA APLICADA
1 2 3 1 2
det A 4 5 6 4 5
7 8 9 7 8
=
-105 -48 -72
 
1 5 9 45
2 6 7 84
3 4 8 96
× × =
× × =
× × = 
(3 5 7) 105
(1 6 8) 48
(2 4 9) 72
− × × = −
− × × = −
− × × = −
Passo 4: o determinante é a soma dos valores obtidos nos passos 2 e 3.
1 2 3 1 2
det A 4 5 6 4 5 45 84 96 105 48 72 0
7 8 9 7 8
= = + + − − − =
6.5.2 Regra de Cramer
A regra de Cramer é um artifício que nos ajuda a resolver sistemas de equações lineares por meio 
da resolução de determinantes. É principalmente aplicada a sistemas de três equações etrês incógnitas, 
mas também pode ser utilizada no caso de duas equações e duas incógnitas, como veremos a seguir. 
Vamos retomar o conteúdo de funções já abordado neste livro-texto, mas de uma forma diferente: por 
meio de pares ordenados conhecidos, vamos encontrar as leis das funções que os caracterizam.
Anteriormente, determinamos algumas leis de funções pelo contexto, o que permitia que as 
escrevêssemos diretamente. Na prática, em muitos casos, é o caminho contrário que precisamos tomar: 
a observação de um fenômeno nos leva a pares ordenados, que podem vir em um gráfico, por exemplo. 
A partir desse gráfico, somos capazes de extrair uma lei matemática que o caracteriza. É esse o tema 
que abordaremos a seguir.
Determinação de uma função afim a partir de dois pares ordenados
As funções de 1º grau podem ser caracterizadas apenas por dois pares ordenados, já que sua 
representação gráfica é uma reta no plano cartesiano.
Vamos considerar dois pares ordenados conhecidos, que fazem parte da mesma função afim: (1,8) 
e (6,33). Desconhecemos, a princípio, a lei de formação dessa função. Vamos, por meio de da regra de 
Cramer, encontrá-la.
 Lembrete
As funções afins têm formato f(x) = ax + b, sendo y = f(x). Os pares 
ordenados têm o formato (x,y): isso indica que dados valores de x e 
de y correspondem a um ponto do plano cartesiano que passa pela 
curva da função.
122
Unidade III
Passo 1: considerando o formato f(x) = ax + b, escrevemos duas equações com os valores de x e y 
entregues pelos pares ordenados.
Par (1,8): para x = 1, temos y = 8. Logo:
ax + b = y
a × 1 + b = 8
a + b = 8
Par (6,33): para x = 6, temos y = 33. Logo:
ax + b = y
a × 6 + b = 33
6a + b = 33
Passo 2: montamos o sistema de equações com as duas equações obtidas no passo anterior, 
mantendo as incógnitas à esquerda da igualdade e o termo independente à direita da igualdade.
a b 8
6a b 33
+ =
 + =
É importante que nos certifiquemos de que as incógnitas estão alinhadas nas duas equações: a 
abaixo de a e b abaixo de b.
Passo 3: encontramos um determinante principal D apenas com os coeficientes dos termos que 
contêm incógnitas (que estão à esquerda da igualdade).
a b 8
6a b 33
+ =
 + =
 → 
1 1
D 1 6 5
6 1
= = − = −
Se você não entendeu os elementos do determinante, preste atenção no sistema de equações: 
a + b = 8, por exemplo, tem dois termos que contêm incógnitas e um termo independente que se 
encontra à direita da igualdade. Só utilizamos nesse determinante os termos da esquerda. O termo 
a pode ser escrito como 1a e o termo b pode ser escrito como 1b, concorda? Por isso, na 1ª linha do 
determinante, temos elementos 1, já que levamos apenas os coeficientes (parte numérica) para o cálculo 
do determinante. Já para 6a + b = 33, devemos levar o 6 (do termo 6a) e o 1 (do termo 1b).
123
MATEMÁTICA APLICADA
Passo 4: encontramos um determinante em que os primeiros termos das equações (termos que 
contêm a incógnita a) são substituídos pelos termos independentes (à esquerda da igualdade).
a b 8
6a b 33
+ =
 + =
 → a
8 1
D 8 33 25
33 1
= = − = −
Note que a 1ª coluna do determinante foi trocada pelos termos independentes, 8 e 33. A 2ª coluna 
manteve-se igual ao que estava no determinante principal.
Passo 5: encontramos um determinante em que os segundos termos das equações (termos que 
contêm a incógnita b) são substituídos pelos termos independentes (à esquerda da igualdade).
a b 8
6a b 33
+ =
 + =
 → b
1 8
D 33 48 15
6 33
= = − = −
Note que a 2ª coluna do determinante foi trocada pelos termos independentes, 8 e 33. A 1ª coluna 
se manteve igual ao que estava no determinante principal.
Passo 6: com os valores dos determinantes, encontramos os valores das incógnitas a e b. Para isso, 
basta aplicar as seguintes regras:
aDa
D
=
bDb
D
=
aD 25a 5
D 5
−= = =
−
bD 15b 3
D 5
−= = =
−
Passo 7: substituímos os valores já conhecidos de a e b, partindo do formato f(x) = ax + b
f(x) = ax + b
f(x) = 5x + 3
Com isso, determinamos que a lei da função de 1º grau que contém os pares ordenados (1,8) e (6,33). 
Trata-se de f(x) = 5x + 3
124
Unidade III
 Observação
Existem diversas maneiras de resolver um sistema de equações, como 
o método da substituição e o método da adição. Procure tentar resolver o 
sistema que acabamos de solucionar novamente, mas por outros caminhos 
que não utilizem determinantes.
 Saiba mais
Para verificar os cálculos de determinantes de matrizes quadradas de 
ordem n qualquer, visite:
DETERMINANT of a matrix. dCode, [s.d.]. Disponível em: https://bit.ly/3tZQiji. 
Acesso em: 19 maio 2021.
Vamos estudar o exemplo a seguir.
Exemplo de aplicação
Observe o gráfico de uma função de 1º grau. A partir dos pares ordenados destacados, encontre a lei 
da função utilizando o método de determinantes.
(-2,-2)(-2,-2)
(2,6)(2,6)
-8-8 -6-6 -4-4 -2-2 22
-2-2
-4-4
22
00
44
66
44 66 88
Figura 42 
Resolução
Vamos observar os pares mostrados no gráfico do enunciado.
125
MATEMÁTICA APLICADA
Par (2,6): para x = 2, temos y = 6. Logo:
ax + b = y
a × 2 + b = 6
2a + b = 6
Par (-2,-2): para x = -2, temos y = -2. Logo:
ax + b = y
a × (-2) + b = -2
-2a + b = -2
2a b 6
2a b 2
+ =
− + = −
2 1
D 2 ( 2) 2 2 4
2 1
= = − − = + =
−
a
6 1
D 6 2 8
2 1
= = + =
−
b
2 6
D 4 12 8
2 2
= = − + =
− −
aD 8a 2
D 4
= = =
bD 8b 2
D 4
= = =
Portanto, a lei da função de 1º grau que contém os pares ordenados (2,6) e (-2,-2) é f(x) = 2x + 2. 
É claro que você poderia ter identificado outros pares ordenados pelo gráfico, em vez de utilizar aqueles 
que foram destacados. Qualquer conjunto de dois pares ordenados que participam dessa função levariam 
você ao mesmo resultado.
126
Unidade III
Determinação de uma função quadrática a partir de três pares ordenados
As funções quadráticas podem ser caracterizadas apenas por três pares ordenados. Dois pares não 
seriam suficientes, pois mais de uma parábola pode passar pelo mesmo conjunto de dois pares ordenados.
Vamos considerar três pares ordenados conhecidos, que fazem parte da mesma função quadrática: 
(1,2), (2,3) e (3,6). Desconhecemos, a princípio, a lei de formação dessa função. Vamos, por meio de da 
regra de Cramer, encontrá-la.
 Lembrete
As funções quadráticas são do tipo f(x) = ax2 + bx + c, sendo y = f(x). Os 
pares ordenados têm o formato (x,y), indicando determinados valores de x 
e de y correspondem a um ponto do plano cartesiano pelo qual passa pela 
curva da função.
Passo 1: considerando o formato f(x) = ax2 + bx + c, escrevemos três equações com os valores de 
x e y entregues pelos pares ordenados.
Par (1,2): para x = 1, temos y = 2. Logo:
ax2 + bx + c = y
a × 12 + b × 1 + c = 2
a + b + c = 2
Par (2,3): para x = 2, temos y = 3. Logo:
ax2 + bx + c = y
a × 22 + b × 2 + c = 3
4a + 2b + c = 3
Par (3,6): para x = 3, temos y = 6. Logo:
ax2 + bx + c = y
a × 32 + b × 3 + c = 6
9a + 3b + c = 6
127
MATEMÁTICA APLICADA
Passo 2: montamos o sistema de equações com as três equações obtidas no passo anterior, mantendo 
as incógnitas à esquerda da igualdade e o termo independente à direita da igualdade.
a b c 2
4a 2b c 3
9a 3b c 6
+ + =
 + + =
 + + =
É importante nos certificarmos de que as incógnitas estão alinhadas nas duas equações: a abaixo de a, 
b abaixo de b e c abaixo de c.
Passo 3: encontramos um determinante principal D, apenas com os coeficientes dos termos que 
contêm incógnitas (que estão à esquerda da igualdade).
a b c 2
4a 2b c 3
9a 3b c 6
+ + =
 + + =
 + + =
 → 
1 1 1 1 1
D 4 2 1 4 2 2 9 12 18 3 4 2
9 3 1 9 3
= = + + − − − = −
Para resolver o determinante, aplicamos a regra de Sarrus.
Passo 4: encontramos um determinante em que os primeiros termos das equações (termos que 
contêm a incógnita a) são substituídos pelos termos independentes (à esquerda da igualdade).
a b c 2
4a 2b c 3
9a 3b c 6
+ + =
 + + =
 + + =
 → a
2 1 1 2 1
D 3 2 1 3 2 4 6 9 12 6 3 2
6 3 1 6 3
= = + + − − − = −
Note que a 1ª coluna do determinante foitrocada pelos termos independentes, 2, 3 e 6. A 4ª coluna, 
obtida pela aplicação da regra de Sarrus, também deve assumir esses valores.
Passo 5: encontramos um determinante em que os segundos termos das equações (termos que 
contêm a incógnita b) são substituídos pelos termos independentes.
a b c 2
4a 2b c 3
9a 3b c 6
+ + =
 + + =
 + + =
 → b
1 2 1 1 2
D 4 3 1 4 3 3 18 24 27 6 8 4
9 6 1 9 6
= = + + − − − =
Note que a 2ª coluna do determinante foi trocada pelos termos independentes, 2, 3 e 6. A 5ª coluna, 
obtida pela aplicação da regra de Sarrus, também deve assumir esses valores.
128
Unidade III
Passo 6: encontramos um determinante em que os terceiros termos das equações (termos que 
contêm a incógnita c) são substituídos pelos termos independentes.
a b c 2
4a 2b c 3
9a 3b c 6
+ + =
 + + =
 + + =
 → c
1 1 2 1 1
D 4 2 3 4 2 12 27 24 36 9 24 6
9 3 6 9 3
= = + + − − − = −
Passo 7: com os valores dos determinantes, encontramos os valores das incógnitas a, b e c. Para isso, 
basta aplicarmos as seguintes regras:
aDa
D
=
bDb
D
=
cDc
D
=
aD 2a 1
D 2
−= = =
−
bD 4b 2
D 2
= = = −
−
cD 6c 3
D 2
−= = =
−
Passo 8: substituímos os valores já conhecidos de a, b e c, partindo do formato f(x) = ax2 + bx + c
f(x) = 1x2 + (-2)x + 3
f(x) = x2 - 2x + 3
Com isso, determinamos que a lei da função de 2º grau que contém os pares ordenados (1,2), (2,3) 
e (3,6) é f(x) = x2 - 2x + 3
Vamos estudar o exemplo a seguir.
129
MATEMÁTICA APLICADA
Exemplo de aplicação
Observe o gráfico da função lucro total em função da quantidade de determinado produto, 
representada por uma parábola. A partir dos pares ordenados destacados, encontre a lei da função 
utilizando o método de determinantes.
2200
(13,35)(13,35)
(16,32)(16,32)
(18,20)(18,20)
55
1010
1515
2020
2525
3030
3535
4040
44 66 88 1010 1212 1414 1616 1818 2020 2222 2424
Figura 43 
Resolução
Par (13,35): para x = 13, temos y = 35. Logo:
ax2 + bx + c = y
a × 132 + b × 13 + c = 35
169a + 13b + c = 35
Par (16,32): para x = 16, temos y = 32. Logo:
ax2 + bx + c = y
a × 162 + b × 16 + c = 32
256a + 16b + c = 32
130
Unidade III
Par (18,20): para x = 18, temos y = 20. Logo:
ax2 + bx + c = y
a × 182 + b × 18 + c = 20
324a + 18b + c = 20
169a 13b c 35
256a 16b c 32
324a 18b c 20
+ + =
 + + =
 + + =
169 13 1 169 13
D 256 16 1 256 16 2704 4212 4608 5184 3042 3328 30
324 18 1 324 18
= = + + − − − = −
a
35 13 1 35 13
D 32 16 1 32 16 560 260 576 320 630 416 30
20 18 1 20 18
= = + + − − − =
b
169 35 1 169 35
D 256 32 1 256 32 5408 11340 5120 10368 3380 8960 840
324 20 1 324 20
= = + + − − − = −
c
169 13 35 169 13
D 256 16 32 256 16 54080 134784 161280 181440 97344 66560 4800
324 18 20 324 18
= = + + − − − =
aD 30a 1
D 30
= = = −
−
bD 840b 28
D 30
−= = =
−
cD 4800c 160
D 30
= = = −
−
131
MATEMÁTICA APLICADA
Com isso, determinamos que a lei da função de 2º grau que contém os pares ordenados (13,35), 
(16,32) e (18,20) é f(x) = -x2 + 28x - 160. Como se trata de uma função lucro, podemos expressá-la como 
LT(q) = -q2 + 28q - 160.
 Resumo
Aplicamos conceitos das áreas da economia e da administração às 
funções matemáticas que estudamos nesta unidade e revisitamos definições 
básicas de matrizes, com diversos exemplos de aplicação.
Começamos com a explicação de conceitos econômicos e administrativos, 
como oferta, demanda, receita, custo e lucro de uma empresa uniproduto. 
Aplicamos funções afins e quadráticas nesse contexto.
Vimos as definições básicas relativas às matrizes, relembrando suas 
operações aritméticas. Também aprendemos como calcular determinantes 
de matrizes de ordem 2 x 2 e 3 x 3, que consiste em um número real obtido 
com os elementos de uma matriz quadrada. Por fim, aprendemos a resolver 
sistemas de equações utilizando determinantes, por meio da regra de 
Cramer. Nessa parte, fomos capazes de obter a lei matemática de funções 
afim e quadráticas partindo de apenas alguns pares ordenados conhecidos.
 Exercícios
Questão 1. (Enade, 2012 – adaptada) As decisões sobre a localização de empresas são estratégicas e 
integram o planejamento global do negócio. Considerando que o preço de venda da grande maioria dos 
bens produzidos é estabelecido pelo mercado, faz-se necessário que as empresas conheçam em detalhes 
os custos nos quais incorrerão em determinada localidade. O modelo padrão “custo-volume-lucro” é útil 
na decisão de localização. A figura a seguir apresenta, em um único gráfico, as curvas de custo total 
versus quantidade produzida mensalmente para as cidades de Brasília, São Paulo e Goiânia, as quais 
foram previamente selecionadas para receber uma nova fábrica de brinquedos. Sabe-se que a receita 
total é a mesma para as três localidades e que a decisão com base no lucro esperado em cada localidade 
varia com a quantidade produzida.
132
Unidade III
5000 10000
Quantidade (unidades)
15000 20000
Brasília
Goiânia
São Paulo
0
0
2
4
6
8
10
Cu
st
o 
to
ta
l
(re
ai
s x
 1
05
)
Figura 44 
A análise do gráfico revela que:
A) São Paulo é a localidade que proporcionará maior lucro para a nova fábrica, se a quantidade 
mensal a ser produzida variar entre 5.000 e 10.000 unidades, considerando-se a estrutura de 
custos apresentada.
B) São Paulo é a cidade na qual deve ser instalada a nova unidade produtiva, se a quantidade a ser 
produzida mensalmente for maior que 7.500 unidades, pois, a partir desse volume de produção, é 
a localidade que proporcionará maior lucro.
C) Brasília é a localidade mais indicada para receber a nova fábrica para volumes de produção mensal 
inferiores a 5.000 unidades, pois é a cidade que viabilizará maior lucro.
D) Goiânia deve receber a instalação da nova fábrica se a quantidade produzida mensalmente for 
superior a 10.000 unidades, tendo em vista que, nas condições apresentadas, é a cidade que 
poderá dar maior lucro.
E) Tanto Goiânia quanto Brasília podem receber a nova fábrica, se o objetivo é produzir uma 
quantidade mensal exatamente igual a 5.000 unidades, considerando que o lucro será o mesmo 
nas duas localidades.
Resposta correta: alternativa A.
133
MATEMÁTICA APLICADA
Análise das alternativas
A) Alternativa correta.
Justificativa: o custo total é a soma do custo fixo (custo existente mesmo que nada seja produzido) 
e do custo variável (custo por unidade produzida). Considerando que o custo variável seja constante por 
unidade produzida, o custo total pode ser graficamente representado por uma reta, como mostrado na 
figura seguinte.
Quantidade 
produzida = q
Custo para 
quantidade q
Custo variável
Custo fixo
Custo (R$)
Custo fixo
unidades
Figura 45 – Custo em função da quantidade produzida
Considerando que o preço de venda por unidade é constante, a receita obtida por tal venda pode ser 
graficamente representada por uma reta, como mostrado na figura seguinte.
Receita (R$)
unidades
Figura 46 – Receita em função da quantidade produzida
Ao efetuarmos a superposição dos dois gráficos, encontramos o que está representado na 
figura seguinte:
134
Unidade III
Receita/Custo (R$)
Receita
Lucro
Custo
Ponto de 
equilíbrio
Prejuízo
unidades
Figura 47 – Receita e custo em função da quantidade produzida
Pela análise do gráfico, vemos que há um ponto de cruzamento entre a reta que representa 
a receita e a reta que representa o custo. Nesse ponto, chamado de ponto de equilíbrio (PE), a 
quantidade produzida (e vendida) é tal que o custo e a receita têm o mesmo valor. Quando são 
produzidas (e vendidas) quantidades maiores do que a do ponto de equilíbrio, existe lucro; quando 
elas são menores, temos prejuízo.
Podemos verificar, na figura anterior, que, quanto menos inclinada for a reta que representa o custo, 
menor será a quantidade do ponto de equilíbrio.
Na figura do enunciado, vemos que:
• para produções entre 5.000 e 10.000 unidades, São Paulo proporciona o menor custo;
• para a produção de 5.000 unidades, São Paulo e Goiânia proporcionam o menor custo;
• para10.000 unidades, São Paulo e Brasília proporcionam o menor custo.
Isso pode ser observado na figura seguinte:
135
MATEMÁTICA APLICADA
5000 10000
Quantidade (unidades)
Custo S. Paulo
Custo Brasília
Custo Goiânia
15000 20000
Brasília
Goiânia
São Paulo
0
0
200
400
600
800
1000
Cu
st
o 
to
ta
l
Cu
st
o 
to
ta
l
(re
ai
s x
 1
0
(re
ai
s x
 1
055
))
Figura 48 – Custo para produzir entre 5.000 e 10.000 unidades
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: acima de 7.500 unidades e até 10.000 unidades, São Paulo proporciona o menor custo. 
Entretanto, para quantidades maiores, Brasília é o local de menor custo.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: para quantidades inferiores a 5.000, Goiânia é onde se tem o menor custo.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: para quantidades maiores do que 10.000, Brasília é o local de menor custo.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: se o objetivo é produzir exatamente 5.000 unidades, os locais que proporcionam o 
menor custo são Goiânia e São Paulo.
136
Unidade III
Questão 2. Considere as matrizes A, B e C dadas a seguir.
1 1 1 1
0 10 10 8
3 50
A , B e C7 8 16 12
20 0
2 2 26 13
3 6 69 11
   
   
   −    = = =     −   
      
O elemento localizado na 5ª linha e na 1ª coluna da matriz Z = A×B+8×C é igual a:
A) -7.
B) 58.
C) 663.
D) 267.
E) 446.
Resposta correta: alternativa C.
Análise da questão
Vamos, primeiramente, calcular a matriz T=A.B, conforme detalhado a seguir.
1 1
0 10
3 50
T A.B .7 8
20 0
2 2
3 6
 
 
  −  = =     − 
  
1.( 3) 1.20 1.50 1.0
0.( 3) 10.20 0.50 10.0
T A.B 7.( 3) 8.20 7.50 8.0
2.( 3) ( 2).20 2.50 ( 2).0
3.( 3) 6.20 3.50 6.0
− + + 
 − + + 
 = = − + +
 − + − + − 
 − + + 
137
MATEMÁTICA APLICADA
3 20 50 0
0 200 0 0
T A.B 21 160 350 0
6 40 100 0
9 120 150 0
− + + 
 + + 
 = = − + +
 − − + 
 − + + 
17 50
200 0
T A.B 139 350
46 100
111 150
 
 
 
 = =
 − 
  
Agora, vamos calcular a matriz U=8×C, conforme detalhado a seguir.
1 1 8.1 8.1
10 8 8.10 8.8
U 8.C 8. 16 12 8.16 8.12
26 13 8.26 8.13
69 11 8.69 8.11
   
   
   
   = = =
   
   
      
8 8
80 64
U 8.C 128 96
208 104
552 88
 
 
 
 = =
 
 
  
Como T=A×B e U=8×C, podemos calcular Z=A×B+8×C = T+U conforme detalhado a seguir.
17 50 8 8
200 0 80 64
Z T U 139 350 128 96
46 100 208 104
111 150 552 88
   
   
   
   = + = +
   −   
      
138
Unidade III
17 8 50 8
200 80 0 64
Z T U 139 128 350 96
46 208 100 104
111 552 150 88
+ + 
 + + 
 = + = + +
 − + + 
 + + 
25 58
280 64
Z 267 446
162 204
663 238
 
 
 
 =
 
 
  
Vemos que o elemento localizado na 5ª linha e na 1ª coluna da matriz Z é igual a 663.