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MÉTODOS ESTATÍSTICOS II 2a Prova Presencial - 2o. semestre de 2010 Profa. Ana Maria Farias 1. (1,5 ponto) A cada ano, uma companhia telefônica inspeciona os postes telefônicos e substitui aqueles que apresentam defeitos. Para alocar recursos de maneira eficiente, a companhia deseja estimar a proporção p de postes defeituosos. Para isso, é necessário construir um intervalo de confiança para p com 95% de confiança e erro máximo de 2%. Qual é o tamanho necessário da amostra em cada um dos seguintes casos? (a) A experiência passada sugere que p ≈ 0, 1. Solução 0, 02 = 1, 96 · r 0, 1× 0, 9 n ⇒ n = µ 1, 96 0, 02 ¶2 × 0, 1× 0, 9⇒ n ≥ 865 : 864. 36 (b) Não há qualquer informação sobre a proporçãod e psotes defeituosos. Solução 0, 02 = 1, 96 · r 0, 5× 0, 5 n ⇒ n = µ 1, 96 0, 02 ¶2 × 0, 25⇒ n ≥ 2401 2. (2,5 pontos) Joalheiros estão preocupados com o possível aumento da produção de ouro, uma vez que um aumento na produção pode levar a uma queda no preço. Dados históricos apontam uma produção média de 18 quilos no terceiro trimestrede cada ano. Suponha que a qauntidade produzida possa ser bem aproximada por uma distribuição normal com desvio padrão de 3 kg. Uma amostra aleatória de minas de ouro foi selecionada e a produção no terceiro trimestre de cada uma delas levantada, resultando nos seguintes valores: 55 36 35 23 9 1 16 14 7 5 9 (a) (0,5 ponto) Formule o problema em termos de um teste de hipóteses, especificando as hipóteses nula e alternativa. Solução H0 : μ = 18 Ha : μ > 18 (b) (1,0 ponto) Estabeleça a regra de decisão para um nível de significância de 5%. Solução RC : Z0 > 1, 64 Z0 = √ 11 X − 18 3 (c) (0,5 ponto) Com base na amostra colhida, determine a conclusão sobre a produção de ouro no terceiro trimestre. 1 Solução x = 55 + 36 + 35 + 23 + 9 + 1 + 16 + 14 + 7 + 5 + 9 11 = 19, 091 z0 = √ 11 19, 091− 18 3 = 1, 206 Como o valor observado da estatística de teste não está na região crítica, não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, os dados não fornecem evidência de que a produção de ouro tenha aumentado. (d) (0,5 ponto) Calcule o valor P. Solução P = Pr(Z > 1, 206) = 0, 5− tab(1, 21) = 0, 5− 0, 3869 = 0, 1131 3. (3,5 pontos) Um distribuidor de pães e bolos faz entregas diárias em oito delicatessens e quatro lojas de conveniência. A média histórica do tempo gasto pelo motorista para fazer as entregas e retornar ao ponto de abastecimento é de 6,5 horas. Um novo motorista foi contratado para fazer esse percurso e ele alega que conseguiu melhorar o tempo de entrega. Uma amostra dos seus tempos de entrega é dada a seguir: 5,61 6,25 5,40 6,57 5,35 5,95 6,53 6,29 Obs.: P xi = 47, 95; P x2i = 289, 0895 (a) (0,5 ponto) Formule o problema em termos de um teste de hipóteses, especificando as hipóteses nula e alternativa. Solução H0 : μ = 6, 5 Ha : μ < 6, 5 (b) (1,0 ponto) Estabeleça a regra de decisão para um nível de significância de 2,5%. Solução RC : T0 < −2, 365 T0 = √ 8 X − 6.5 S (c) (1,0 ponto) Com base na amostra colhida, estabeleça a conclusão. Solução x = 47, 95 8 = 5, 99375 s2 = 1 7 µ 289, 0895− 47, 95 2 8 ¶ = 0, 24131 t0 = √ 8 5.99375− 6.5√ 0.24131 = −2, 9149 Como o valor observado da estatística de teste está na região de rejeição, conclui-se que o novo motorista diminuiu o tempo de entrega. 2 (d) (1,0 ponto) Construa um intervalo de confiança para o tempo de entrega do novo mo- torista, com nível de confiança de 95%. Soluçãoà 5, 99375− 2, 365× r 0, 24131 8 ; 5, 99375 + 2, 365× r 0, 24131 8 ! = (5, 583; 6, 405) 4. (2,5 pontos) Em 2007, uma pesquisa realizada pela Brookfield Research/American Express revelou que 35% dos proprietários de cartão de crédito American Express no Canadá usavam apenas esse cartão regularmente. Uma campanha publicitária promocional foi feita com o objetivo de aumentar o número de proprietários e usuários do cartão American Express. Depois dessa campanha, realizou-se uma nova pesquisa com 2500 proprietários de cartão de crédito e 902 indicaram que só usavam o American Express. Teste se a campanha publicitária teve sucesso, ao nível de significância de 1%, .Certifique-se de especificar todas as etapas da solução do problema. Solução H0 : p = 0, 35 H1 : p > 0, 35 Estatística de teste e região crítica Z0 = bP − p0r p0(1− p0) n RC : Z0 > 2, 33 Valor observado da estatística de teste Z0 = bp− p0r p0(1− p0) n = 902 2500 − 0, 35r 0, 35× 0, 65 2500 = 1, 1321 Como o valor observado da estatística de teste não está na região crítica, os dados sugerem que a campanha não teve o efeito desejado, ou seja, não houve aumento do número de proprietários do cartão American Express. Resultados importantes e fórmulas X ∼ N ¡ μ;σ2 ¢ =⇒ ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ X − μ σ√ n ∼ N(0; 1) X − μ S√ n ∼ t(n− 1) 3 X ∼ Bernoulli(p) =⇒ X = bP ≈ N µp; p(1− p) n ¶ (amostra grande) S2 = 1 n− 1 nP i=1 ¡ Xi −X ¢2 = 1 n− 1 ∙ nP i=1 X2i − nX 2 ¸ = 1 n− 1 " nP i=1 X2i − ( P Xi)2 n # 4
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