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1 
APÊNDICE – A1 
 
 
 
 
SEL0383 – Sinais e Sistemas 
 
Fórmulas e relações matemáticas usuais 
 
Marcelo Basilio Joaquim 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Fórmulas trigonométricas 
 
 
x
yr
θ θ
θ==θ=θ=θ
cos
sen
x
ytg
r
xcos
r
ysen
 
 
 
( ) ( )θ+θ=θ senjcosje 
 
( ) [ ]θ−θ +=θ jj eecos
2
1 
 
( ) [ ]θ−θ −=θ jj ee
j
sen
2
1 
 
( ) ( )[ ]θ+=θ 21
2
12 coscos 
 
( ) ( )[ ]θ−=θ 21
2
12 cossen 
 
( ) ( ) 122 =θ+θ sencos 
 
( ) ( ) ( )θ−=−θ=θ 22 21122 sencoscos 
 ( ) ( ) ( )θθ=θ sencossen 22 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )acosbsenbcosasenbasen ±=± 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bsenasenbcosacosbacos m=± 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]bacosbacosbcosacos ++−=
2
1 
2 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]bacosbacosbsenasen +−−=
2
1 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]basenbasenbcosasen ++−=
2
1 
 
 
2. Séries diversas 
 
 
1
1
11
0
≠−
−=∑−
=
a
a
aa
NN
n
n 
 
1
1
1212
1
≠
−
−=
+
=
∑ ase
a
aaa
kkk
kn
n 
 
1
1
1
0
<−=∑
∞
=
a
a
a
n
n 
 
1
1
<−=∑
∞
=
a
a
aa
K
Kn
n 
 
( )1
2
1
0
+=∑
=
NNk
N
k
 
 
( ) ( )aln
n
a
n
n
n +=−∑∞
=
11
1
 
 
( ) 11 20 <−=∑
∞
=
a
a
ana
n
n 
 
( ) ( ) 11
21 3
2
2 <−=−∑
∞
=
− a
a
ann
n
n 
 
 
 
3. Números complexos 
 
 
a 
b r 
θ 
[ ] θ=θ+θ=+ jrejsencosrjba 
Re 
Im 
 
 
 
forma retangular ou cartesiana: jbaz += 
3 
 
 forma polar: θjrez = 
 em que: r é o módulo, 222 bar += e ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=θ
a
barctan 
 
 Complexo conjugado: θjrejbaz −=−=* 
 
 
Relações usuais 
 
[ ]{ } [ ]θ+θ=θ+θ jsenppcosrjsencosr pp 
 
[ ]{ } 102211 −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π+θ+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π+θ=θ+θ N,k
N
ksenj
N
kcosrsenjcosr N/N/ L 
 
2rzz* = 
 
θ= 2j* ez
z 
 
 
Fórmulas de Euler 
 
( ) ( )θ+θ=θ senjcose j 
 
( ) [ ]θ−θ +=θ jj eecos
2
1 
 
( ) [ ]θ−θ −=θ jj ee
j
sen
2
1 
 
 
outros resultados 
 
 
( ) ( )ππ
π
ke
ej
kjk
j
cos1
2/
=−=
=
 
 
 
4. Integrais 
 
 
∫∫ −= vduuvudv (integração por partes) 
 
1
1
1 1 −≠+=
+∫ nxndxx nn 
 ( )
( )⎩⎨
⎧
<−
>=∫ 01 u,uln ou,ulnduu 
 
4 
axax e
a
dxe 1=∫ 
 
( ) axax eax
a
dxxe 11
2
−=∫ 
 
( ) axax eaxxa
a
dxex 221 223
2 −−=∫ 
 
( ) ( )xcosdxxsen −=∫ 
 
( ) ( ) ( )xcosxxsendxxsenx −=∫ 
 
( ) ( ) ( ) ( )xcosxxsenxdxxsenx 22 22 −−=∫ 
 
( ) ( )xsendxxcos =∫ 
 
( ) ( ) ( )xsenxxcosdxxcosx +=∫ 
 
( ) ( ) ( ) ( )xsenxxcosxdxxcosx 22 22 −+=∫ 
 
( ) ( )asgn
a,
a,
a,
x
dxaxsen
2
0
2
00
0
2
0
π=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<π−
=
>π
=∫∞ 
 
bxaln
b
dx
bxa
+=+∫ 11 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=+
−∫ abxtanabdxxba 1222 11 
 
 
 
5. Derivadas 
 
 
dx
dv
dv
dy
dx
dy = (regra da cadeia) 
 ( ) vduudvuvd += 
 
2v
udvvdu
v
ud −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
 
dxnxx
dx
d nn 1−= 
5 
 
( ) ( )axsenaaxcos
dx
d −= 
 
( ) ( )axcosaaxsen
dx
d = 
 
axax aee
dx
d = 
 
 
 
6. Nomenclatura de algumas funções e relações usuais em engenharia elétrica 
 
 
função retângulo ⎪⎩
⎪⎨⎧ τ<=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
τ contráriocaso,
/t,tret
0
21
 
 
 
função sinc ( ) ( )
x
xsenxsinc π
π= 
 
 
1 
sinc(x)
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 
lóbulo principal 
 
 
 
função degrau unitário ( ) ( ) ( )
⎩⎨
⎧
<
>=ττ−δ=ττδ= ∫∫ ∞∞− 00 010 t, t,dtdtu t 
 
 
função signum ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−
=
>
=
01
00
01
t,
t,
t,
tsgn 
 
 
 
função impulso unitário ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠
= ∫∞∞− 1
0,0
dtt
t
t δδ 
 
função trem de impulsos (comb) ( ) ( )∑∞
−∞=
−=
k
T kTtt δδ 
 
 
algumas relações importantes 
 
6 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tuttrtuttutr dtddtd =→=→= δ 
 
( ) ( ) ( )∫∞∞− −=− dttttxttx 00 δ 
 
( ) ( ) ( )tu*txdxt =ττ∫ ∞− 
 ( ) ( )2/twcostwsen oo π−= 
 
 
7. Séries de Fourier 
 
 
(a) Série exponencial 
 
( ) ∑∞
−∞=
=
k
tjkw
k eatx 0 ( )∫ −=
0
0
0
1
T
tjkw
k dtetxT
a 
 
 
(b) Série trigonométrica 
 
 
( ) ( ) ( )( )∑∞
=
+ +=
1
000
k
kk tkwsenBtkwcosAAtx 
( )∫=
00
0
1
T
dttx
T
A ( ) ( )∫=
0
0
0
2
T
k dttkwcostxT
A ( ) ( )∫=
0
0
0
2
T
k dttkwsentxT
B 
 
 
 
8. Transformada de Fourier 
 
 
( ) ( )∫∞∞− π−= dtetxfX ftj2 ( ) ( )∫∞∞− π= dfefXtx ftj2 
 
( ) ( )∫∞∞− −= dtetxwX jwt ( ) ( )∫∞∞−π= dwewXtx jwt21 
 
 
Relação de Parseval: 
 
( ) ( ) ( )∫∫∫ ∞∞−∞∞−∞∞− =π= dffXdwwXdttx 222 21 
 
7 
Tabela de pares de transformadas de Fourier 
 
 
 
Sinal Transformada 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
τ
tret ( )
2
2
/w
/wsen
τ
ττ 
( )tue at− jwa +
1 
( )tute at− ( )2
1
jwa + 
0>− ae ta 22
2
wa
a
+ 
( )22 2σ− /te 2222 /we σ−πσ 
( )tδ 1 
( )0tt −δ 0jwte− 
1 ( )wπδ2 
( )tu ( )w
jw
πδ+1 
tjwe 0 ( )02 ww−πδ 
22
2
1 /te−π 2
2 /we− 
( )twcos 0 ( ) ( )[ ]00 wwww +δ+−δπ 
( ) ( )tutwcos 0 ( ) ( )[ ] 2
0
2002 ww
jwwwww −−+δ+−δ
π 
( )twsen 0 ( ) ( )[ ]00 wwwwj +δ−−δ
π 
( ) ( )tutwsen 0 ( ) ( )[ ] 2
0
2
2
002 ww
wwwww
j −−+δ+−δ
π 
( ) ( )tutwcose t 0α− ( ) 202 wjw
jw
++α
+α 
( ) ( )tutwsene t 0α− ( ) 202
0
wjw
w
++α 
 
8 
 
 
Tabela de propriedades da transformada de Fourier 
 
 
Sinal Transformada 
( )0ttx − ( ) 0jwtewX − 
( ) tjwetx 0 ( )0wwX − 
( )tx α ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
αα
wX1 
( )tx
dt
d
n
n
 ( ) ( )wXjw n 
( ) ( )txjt n− ( )wX
dw
d
n
n
 
( )∫
∞−
ττ
t
dx ( ) ( ) ( )wXwX
jw
δπ+ 01 
( )tX ( )wx −π2 
 
9 
9. Transformada de Laplace 
 
 
( ) ( )∫∞∞− −= dtetxsX st ( ) ( )∫ ∞+σ ∞−σπ= jj st dsesXjtx 21 
 
 
Tabela de pares de transformadas de Laplace 
 
 
Sinal Transformada 
( )tδ 1 (todo s) 
( )0tt −δ 0ste− (todo s) 
( )tu 01 >σ
s
 
( )tu −− 01 <σ
s
 
( )ttu 01
2
>σ
s
 
( )tue at− a
sa
−>σ+
1 
( )tue at −− − asa −<σ+
1 
( )tute at− ( ) asa −>σ+ 2
1 
( )tute at −− − ( ) asa −<+ σ2
1 
0>− ae ta aas
a <σ− 22
2 
( ) ( )tutwcos o 02
0
2
>σ+ ws
s 
( ) ( )tutwcose oat− ( ) awas
as −>σ++
+
2
0
2
 
( ) ( )tutwsen o 02
0
2
0 >σ+ ws
w
 
( ) ( )tutwsene oat− ( ) awas
w −>σ++ 202
0 
( ) ( )tu!n
t n
1
1
−
−
 0
1 >σ
ns
 
( ) ( )tue!n
t atn −−
−1
1
 ( ) aas n −>σ+
1 
 
10 
Propriedades da transformada de Laplace 
 
 
 
Sinal Transformada RDC 
( ) ( )txatxa 2211 + ( ) ( )sXasXa 2211 + 21 RR ∩ 
( )τ−tx ( )sXe sτ− R 
( )txe ts0− ( )0ssX − R 
( )atx ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
a
sX
a
1 
a
R 
( )tx − ( )sX − R− 
( ) ( )tx*tx 21 ( ) ( )sX.sX 21 21 RR ∩ 
( )ttx− ( )sX
ds
d R 
( )tx
dt
d ( )ssX R 
( )∫ ∞− ττt dx ( )sXs1 ( ) 0>∩ sReR 
 
 
 
10. Sinais de energia e potência 
 
energia de um sinal de tempo contínuo ( ) ( ) ( )∫∫ −∞→−∞→ == ττττττ dttxdttxtxE 2* limlim 
 
• sinais de energia são aqueles para s quais 0 < E < ∞. Em geral os sinais não 
periódicos e sinais determinísticos que tendem a zero conforme t tende ao 
infinito são sinais de energia. 
 
potência de um sinal ( )∫−∞→= τττ τ dttxP 221lim 
 
• sinais de potência são aqueles para os quais 0 < P < ∞. Os sinais periódicos e 
sinais aleatórios são sinais de potência. 
 
potência média para sinais periódicos: ( )∫== Tm dttxTperíodoperíodoumemenergiaP 0 21 
 
 
11. Outras medidas em sinais 
 
valor rms ou eficaz mefrms PVV == 
 
valor médio ( )∫ Δ+Δ= tttm dttxtx 111 
11 
 
valor médio em um período ( )∫ += 01
10
1 Tt
t
m dttxT
x 
 
valor ac ( ) ( ) mac xtxtx −= 
 
 
 
 
marcelo bj