Cálculo I - Parte III - Integrais e Aplicações (I)

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CÁLCULO I
- Parte III
Integrais Indefinidas
Lı́via Moreira Couto
Viçosa - MG
Fevereiro/2021
1 Integrais e Aplicações (I)
1.1 Integral Indefinida
Dizemos que uma função F é uma primitiva (ou antiderivada) de uma função f , num intervalo
aberto I se, e somente se, F ′(x) = f (x) para todo x em I.
Exemplo: Se f (x) = 2x então uma primitiva de f é dada por F(x) = x2, já que F ′(x) = f (x) , ∀x∈R.
Uma outra primitiva de f é dada por G(x) = x2 +1, uma vez que G′(x) = f (x) , ∀x ∈ R.
Se F é uma função primitiva de f em um intervalo I, então y = F(x)+ c é a famı́lia das primitivas
de f em I, também chamada de integral indefinida de f , denotada por:
∫
f (x) ·dx = F(x)+ c, onde c
é chamada constante de integração.
Exemplo:
∫
2xdx = x2 + c, pois
(
x2 + c
)′
= 2x, onde c é uma constante qualquer.
1.2 Propriedades da Integral Indefinida
Sejam f , g : I ⊂ R→ R funções e k uma constante, então:
1.
∫
[ f (x)±g(x)] dx =
∫
f (x)dx±
∫
g(x)dx
2.
∫
[k · f (x)]dx = k ·
∫
f (x)dx
3.
d
dx
(∫
f (x)dx
)
= f (x)
4.
∫
f ′(x)dx = f (x)+ k
As seguintes integrais são chamadas de integrais imediatas e são usadas com muita frequência:
•
∫
adx = ax+ c
•
∫
xn dx =
xn+1
n+1
+ c
•
∫
ax dx =
ax
lna
+ c
•
∫ 1
x
dx = ln |x|+ c
•
∫
cosxdx = senx+ c
•
∫
senxdx =−cosx+ c
•
∫
sec2 xdx = tgx+ c
•
∫
secx · tgxdx = secx+ c
2
•
∫
cossec2 xdx =−cotgx+ c
•
∫
cossecx · cotgxdx =−cossecx+ c
•
∫ 1
1+ x2
dx = arctgx+ c
•
∫ 1√
1− x2
dx = arcsenx+ c
Vejamos um exemplo da aplicação de algumas das propriedades citadas:
Exemplo:
∫ (
5x2 + senx
)
dx [P1]=
∫
5x2 dx +
∫
senxdx [P2]= 5 ·
∫
x2 dx +
∫
senxdx =
5x3
3
−cosx+c.
1.3 Métodos de Integração
Existem quatro métodos de integração que são considerados os principais. São eles:
1. Substituição ou Mudança de Variáveis: Sejam f e F funções tais que F ′ = f . Seja g uma função
derivável tal que podemos considerar a função composta F ◦g.
Suponhamos que queremos calcular
∫
f (g(x)) ·g′(x)dx.
Pela regra da cadeia, sabemos que (F ◦ g)′(x) = [F (g(x))]′ = F ′ (g(x)) · g′(x). Como F é uma
primitiva de f , então (F ◦ g)′(x) = F ′ (g(x)) · g′(x) = f (g(x)) · g′(x), ou seja, (F ◦ g)(x) é uma
primitiva de f (g(x)) ·g′(x).
Logo,
∫
f (g(x))·g′(x)dx=F (g(x))+c. Fazendo u= g(x) e du= g′(x)dx e fazendo a substituição,
temos:
∫
f (g(x)) ·g′(x)dx =
∫
f (u)du = F(u)+ c.
Exemplo:
∫
2xex
2
dx.
Utilizando a mudança de variável u = x2 e du = 2xdx:∫
2xex
2
dx =
∫
eu du = eu + c = ex
2
+ c.
2. Integração por partes: De forma prática, utilizamos a fórmula de integração por partes, dada por∫
udv = uv−
∫
vdu, onde u = f (x) ⇒ du = f ′(x)dx e v = g(x) ⇒ dv = g′(x)dx.
Exemplo:
∫
xex dx.
Escolhemos u = x⇒ du = dx e dv = ex dx⇒ v = ex.
Logo:
∫
xex dx = xex−
∫
ex dx = xex− ex + c.
3. Fração Parcial: Utilizamos este método quando f (x) =
p(x)
q(x)
é uma função racional com grau de
p(x) menor que o grau de q(x) e com q(x) com coeficiente dominante igual a 1. Dividimos este
método em quatro casos:
3
(a) q(x) é um produto de fatores lineares distintos:
Logo, q(x) pode ser escrito como q(x) = (x−a1) · (x−a2) · . . . · (x−an).
Então, escrevemos f (x) =
A1
x−a1
+
A2
x−a2
+ . . .+
An
x−an
, onde A1,A2, . . . ,An são constantes
que devem ser determinadas.
Exemplo:
∫
f (x) =
∫ x−1
x3− x2−2x
dx.
Notemos que q(x) = x3− x2−2x = x(x2− x−2) = x(x+1)(x−2).
Decompondo a função f (x) em frações parciais, obtemos:
x−1
x3− x2−2x
=
A
x
+
B
x+1
+
C
x−2
=
A(x+1)(x−2)+Bx(x−2)+Cx(x+1)
x(x+1)(x−2)
x−1
x3− x2−2x
=
(A+B+C)x2 +(−A−2B+C)x−2A
x3− x2−2x
x−1 = (A+B+C)x2 +(−A−2B+C)x−2A
Por igualdade de polinômios:
A+B+C = 0
−A−2B+C = 1
−2A =−1
⇒

A =
1
2
B =−2
3
C =
1
6
Assim,
x−1
x3− x2−2x
=
1
2
x
+
−2
3
x+1
+
1
6
x−2
.
Portanto,
∫ x−1
x3− x2−2x
dx =
1
2
∫ 1
x
dx− 2
3
∫ 1
x+1
dx+
1
6
∫ 1
x−2
dx⇒∫ x−1
x3− x2−2x
dx =
1
2
ln |x|− 2
3
ln |x+1|+ 1
6
ln |x−2|+ c.
(b) q(x) é um produto de fatores lineares e alguns deles se repetem:
Se q(x) tem um fator x−ai de multiplicidade m, esse fator corresponde a uma soma de frações
parciais da forma
B1
x−ai
+
B2
(x−ai)2
+ . . .+
Bm
(x−ai)m
, onde B1,B2, . . . ,Bm são constantes que
devem ser determinadas.
Em relação aos outros fatores e a resolução da integral como um todo, procedemos como no
primeiro caso.
(c) q(x) é um produto de fatores lineares e quadráticos, e os fatores quadráticos não se
repetem:
Cada fator quadrático x2 + bx+ c corresponde a uma fração parcial da forma
Cx+D
x2 +bx+ c
,
onde C e D são constantes que devem ser determinadas.
Em relação aos outros fatores e a resolução da integral como um todo, procedemos como nos
casos anteriores.
(d) q(x) é um produto de fatores lineares e quadráticos, e alguns fatores quadráticos se
repetem:
Se q(x) tem um fator x2 +bx+ c de multiplicidade m, esse fator corresponde a uma soma de
frações parciais da forma
E1x+F1
x2 +bx+ c
+
E2x+F2
(x2 +bx+ c)2
+ . . .+
Emx+Fm
(x2 +bx+ c)m
,
onde E1,E2, . . . ,Em,F1,F2, . . . ,Fm são constantes que devem ser determinadas.
4
Em relação aos outros fatores e a resolução da integral como um todo, procedemos como nos
casos anteriores.
4. Substituição Trigonométrica:
Este método é utilizado para resolver integrais em que seu integrando contém as expressões√
a2− x2 ,
√
a2 + x2 ou
√
x2−a2, com a > 0. Tem-se como base a substituição destas expressões
algébricas pelas identidades trigonométricas sen2 x+ cos2 x = 1 ou 1+ tg2 x = sec2 x.
Vamos dividir em três casos:
(a) O integrando contém a expressão
√
a2− x2:
Neste caso, escolhemos x = asenθ⇒ dx = acosθdθ.
Então
√
a2− x2 =
√
a2−a2 sen2 θ =
√
a2(1− sen2 θ) =
√
a2 cos2 θ = acosθ.
Como senθ =
x
a
, θ = arcsen
( x
a
)
.
Exemplo: Queremos calcular a integral
∫ √4− x2
x2
dx.
Escolhemos x = 2senθ⇒ dx = 2cosθdθ, com θ = arcsen
( x
2
)
.
Então,
∫ √4− x2
x2
dx =
∫ √4− (2senθ)2
(2senθ)2
2cosθdθ =
∫ √4(1− sen2 θ)
4sen2 θ
2cosθdθ
=
∫ √4cos2 θ
4sen2 θ
2cosθdθ =
∫ 2cosθ
4sen2 θ
2cosθdθ =
∫ 4cos2 θ
4sen2 θ
dθ =
∫ (cosθ
senθ
)2
dθ
=
∫
cotg2 θdθ =
∫ (
cossec2 θ−1
)
dθ =
∫
cossec2 θdθ−
∫
dθ =−cotgθ−θ+ c
=−
√
4− x2
x
− arcsen
( x
2
)
+ c.
Observação: Para retornar a variável inicial, podemos fazer uso de um triângulo retângulo:
(b) O integrando contém a expressão
√
a2 + x2:
Escolhemos x = a tgθ⇒ dx = asec2 θdθ.
Então
√
a2 + x2 =
√
a2 +a2 tg2 θ =
√
a2(1+ tg2 θ) =
√
a2 sec2 θ = asecθ.
Como tgθ =
x
a
, θ = arctg
( x
a
)
.
Procedemos como no primeiro caso para resolver a integral que nos for dada.
(c) O integrando contém a expressão
√
x2−a2:
Escolhemos x = asecθ⇒ dx = asecθ tgθdθ.
Então
√
x2−a2 =
√
a2 sec2 θ−a2 =
√
a2(sec2 θ−1) =
√
a2 tg2 θ = a tgθ.
Como secθ =
x
a
, θ = arcsec
( x
a
)
.
Procedemos como nos casos anteriores para resolver a integral que nos for apresentada.
5
2 Referências Bibliográficas
1. VIANA, Rosane; CARVALHO, Laerte e LOPES, Jaques - Cálculo Diferencial e Integral I -
Viçosa, 2012.
2. CABRAL, Marco A. P. - Curso de Cálculo de Uma Variável - Rio de Janeiro: Instituto de
Matemática, 2010.
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