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UNIFEI
1a Prova de Equações Diferenciais I
Professora:Gisele Leite 07/10/2014
Justifique todas as respostas!
[2.5] 1) Considere que uma população de mosquitos em determinada área cresce a uma
taxa proporcional à população atual e, na ausência de outros fatores, a população dobra a
cada semana. Existem, inicialmente, 200.000 mosquitos na área e os predadores (pássaros,
morcegos, etc.) comem 20.000 mosquitos por dia.
a) Escreva uma equação diferencial que modele o problema acima (considere o tempo
medido em semanas).
b) Qual é o lim
t→∞
p(t), onde p(t) é a solução para a EDO encontrada no item (a) com
p(0) = 200.000.
c) Existe a possibilidade da população de mosquistos ser extinta?
Obs:
140.000
ln(2)
≈ 201.977.
[2.5] 2) Para cada um dos itens abaixo construa uma equação diferencial de primeira
ordem tal que todas as soluções tenham a propriedade de lim
t→∞
y(t) = 0. Depois resolva
sua equação e confirme que todas as soluções têm, de fato, a propriedade especificada.
a) linear b) separável c) exata
[1.5] 3) Considere a equação x′ = x(x−1)(x−2). Se x = x(t) é a solução tal que x(0) = 3
2
,
ache o limite l = lim
t→∞
x(t).
[1.5] 4) Se o wronskiano de duas soluções quaisquer de y′′ + p(t)y′ + q(t)y = 0 é constante
(com p e q cont́ınuas), o que isso implica sobre os coeficientes p e q?
[2.0] 5) Encontre uma solução particular da equação diferencial: 4y′′ − 4y′ + y = 16e t2