Questão resolvida - Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do gráfico da função y = x^2+x+7 em torno do eixo x no intervalo 0 x 2 - Cálculo II - UNIP

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do gráfico da função
 em torno do eixo x no intervalo . y = x + x+ 72 0 ≤ x ≤ 2
 
Resolução:
 
Primeiro, é preciso encontrar a interceção da parabola com o eixo x;
 
𝛥 = 1 - 4 ⋅ 1 ⋅ 7 𝛥 = 1- 28 𝛥 = -27 < 02 → →
Como é menor que zero, a parábola não toca o eixo x. Como o coeficiente angular da 𝛥
parábola é positivo, sua concavidade é voltada para cima, se , temos:x = 0
 
y = f 0 = 0 + 0 + 7 y = f 0 = 7( ) ( )2 → ( )
 Ou seja, a função toca o eixo das ordenadas em , a área a ser rotacionada pode ser y = 7
vista abaixo:
 
 
Usando o método dos discos, o volume é dado pela fórmula:
 
V = 𝜋 f x dx
b
a
∫ [ ( )]2
Os limites de integração são e , e é a equação da curva, assim, o volume é;a = 0 b = 2 f x( )
 
V = 𝜋 x + x+ 7 dx V = 𝜋 x + x+ 7 ⋅ x + x+ 7 dx
2
0
∫ 2 2 →
2
0
∫ 2 2
 
V = 𝜋 x + x + 7x + x + x + 7x+ 7x + 7x+ 49 dx
2
0
∫ 4 3 2 3 2 2
V = 𝜋 x + 2x + 15x + 14x+ 49 dx V = 𝜋 + 2 ⋅ + 15 ⋅ + 14 ⋅ + 49x
2
0
∫ 4 3 2 → x
5
5 x
4
4 x
3
3 x
2
2 2
0
 
V = 𝜋 + + 5 2 + 7 2 + 49 ⋅ 2- + + 5 0 + 7 0 + 49 ⋅ 0
2
5
( )5 2
2
( )4
( )3 ( )2
0
5
( )5 0
2
( )4
( )3 ( )2
 
V = 𝜋 + + 5 ⋅ 8 + 7 ⋅ 4 + 98 V = 𝜋 + 8 + 40 + 28 + 98 V = 𝜋 + 174
32
5
16
2
→
32
5
→
32
5
 
V = 𝜋 V = u. v.
32 + 870
5
→
902𝜋
5
 
 
(Resposta )