Aula 7 - Probabilidade

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Prof. Dra. Flávia Cristina M. Queiroz Mariano
UNIFESP – São José dos Campos
BCT - 1º sem./2019
Aula 7 – Probabilidade
➢ Fenômenos Determinísticos:
✓ Conhecidos com certeza;
✓ Não são sujeitos a lei do acaso.
Exemplos: a idade de uma pessoa jovem, o mês atual, o ano 
atual. 
➢ Fenômenos Probabilísticos:
✓ Não são conhecidos com certeza;
✓ Estão sujeitos a lei do acaso.
Exemplo: face superior de um dado ou de uma moeda, chove 
hoje, o Botafogo será rebaixado.
Introdução
Experimento (fenômeno) Aleatório: todo fenômeno ou ação que
geralmente pode ser repetido e cujo resultado é aleatório, isto é, são
experimentos que ao serem repetidos nas mesmas condições não
produzem os mesmos resultados.
Por exemplo:
- as condições climáticas para o próximo domingo
e nem a taxa de inflação do próximo mês podem
ser estabelecidas com certeza.
- Resultado ao lançar um dado ou uma moeda;
- Tempo de duração de uma lâmpada.
Conceitos Importantes
Modelos probabilísticos: são modelos teóricos
estabelecidos para quantificar as incertezas das
diversas ocorrências de um fenômeno aleatório.
Estes modelos probabilísticos permitem, sem a
observação direta do fenômeno aleatório, reproduzir de
maneira razoável a distribuição das frequências
observadas no experimento.
Conceitos Importantes
 Espaço amostral (representado por Ω) é o conjunto de todos os 
possíveis resultados de um certo fenômeno aleatório. Espaços 
amostrais podem ser enumeráveis ou não enumeráveis. 
O espaço amostral com um número 
finito ou infinito enumerável de valores 
é dito espaço discreto, e o espaço amostral
com um número infinito não-enumerável 
de pontos é dito espaço contínuo.
 Evento aleatório é um resultado ou, resultados ocorridos no 
experimento, ou seja, é qualquer subconjunto do espaço amostral 
Ω e são representados por letras maíusculas (A, B, C, …). 
Em particular, Ω e  (subconjunto vazio) 
são eventos.
Conceitos Importantes
Espaço amostral
C
A
B
D
Ω
Espaço amostral
Eventos
Elementos do 
espaço amostral
Operações entre eventos
 Podem-se ter operações entre eventos da mesma forma que com 
conjuntos:
a. A união de dois eventos A e B, denotada por AB representa a 
ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B. É o evento que 
ocorrerá se, e somente se, A ou B ou ambos ocorrerem; 
b. A intersecção do evento A com o B, denotada por AB, é a 
ocorrência simultânea de A e B.
c. Dois eventos A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos
quanto não têm elementos em comum. Isto é AB=.
d. O complementar de A será dado por Ac. Dois eventos são 
chamados complementares se sua união é o espaço amostral e 
sua interseção é vazia. e temos que A Ac = e A Ac =Ω.
A
B
Ω
Leis de 
Morgan
Propriedades das operações entre eventos
Lei
distributiva
Se a união de n eventos
mutuamente exclusivos é o
próprio universo Ω, dizemos que
tais eventos formam
uma partição em Ω.
Operações entre eventos
1)
Experimento Aleatório – Jogar um dado de seis faces.
Espaço Amostral – Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Evento A – Sair um número par A={2, 4, 6}.
Evento B – Sair o número 2 B={2}.
1 3 5 
2 4 6 
Ω
Definindo os termos em exemplos
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
Evento A: A soma dos dados é igual a 4. 
Evento B: A soma dos dados é igual a 11
Evento C: A soma é 4 ou 11. 
A={(1,3);(2,2);(3,1)}
B={(5,6);(6,5)}
C={(1,3);(2,2);(3,1);(5,6);(6,5)}
2)
Experimento aleatório: Jogar um dado duas vezes.
Espaço Amostral: 36 resultados abaixo
Definindo os termos em exemplos
O que é Probabilidade?? 
“A chance de chover é 30 %” → quantifica o nosso 
sentimento acerca da possibilidade de chuva.
Probabilidade: Quantifica a possibilidade de ocorrência de um
resultado de um experimento aleatório, isto é, é uma afirmação
numérica sobre a possibilidade de que algo ocorra, quantificando o
grau de incerteza dos eventos, variando de 0 a 1 ou 0% a 100%.
OBS: 
• A possibilidade de um resultado é quantificada atribuindo-se um 
número no intervalo [0, 1].
• Números maiores indicam que o resultado é mais provável.
• Probabilidade zero indica que o resultado não ocorrerá.
• Probabilidade um significa que irá ocorrer com certeza.
1) Subjetiva: grau de crença de que o resultado ocorrerá.
2) Frequentista: valor limite da proporção de vezes que o resultado 
ocorre em infinitas repetições do experimento aleatório, isto é, a 
frequência relativa em infinitas repetições. 
Ou seja,
fri(A)= número de repetições em que ocorre A = fi _
número total de repetições n 
OBS: Quando n cresce: fr(A)  P(A)
Exemplo: Se dizemos que a probabilidade de uma máquina produzir 
uma peça defeituosa é de 0,1. Podemos interpretar que se 
analisarmos muitas peças produzidas por esta máquina, 10% 
delas vão apresentar defeito.
Definições de probabilidade:
3) Clássica: Dado um experimento aleatório, sendo Ω seu espaço
amostral, vamos admitir que todos os elementos de Ω tenham a
mesma chance de acontecer, ou seja, Ω é um conjunto equiprovável.
Definimos a probabilidade de um evento A (A  Ω ) ao número real
P(A) tal que:
4) Axiomática: Uma função P(.) é denominada probabilidade se 
satisfaz as condições:
1. 0  P(A)  1,  AΩ;
2. P(Ω)=1 e P()=0;
3. Para Aj eventos disjuntos:
Definições de probabilidade:

==
=







 n
j
j
n
j
j
11
)A(PAP 
1) De um grupo de duas mulheres(M) e três homens (H),
uma pessoa será sorteada para presidir uma reunião.
Queremos saber qual a probabilidade de o presidente ser
do sexo masculino?
a) Defina o espaço amostral.
b) Defina o evento.
c) Calcule a probabilidade.
Ω = {H,M}
E = {H}
P(E)=n(E) = 3
n(Ω) 5 
Exemplo
• Na tabela temos dados referentes a alunos
matriculados em quatro cursos de uma universidade,
em 2009:
• Seja M o evento de escolher ao acaso um aluno e ele
estar matriculado no curso de matemática pura.
Sexo Homens Mulheres
Curso (H) (F) Total (cursos)
Matemática Pura (M) 70 40 110
Matemática Aplicada (A) 15 15 30
Estatística (E) 10 20 30
Computação (C.) 20 10 30
Total (sexo) 115 85 200
Exemplo 5.6 – pg 107, Morettin e Bussab (2010)
Exemplo 5.6 – pg 107, Morettin e Bussab (2010)
a) Qual a probabilidade de escolher um aluno matriculado
no curso de matemática aplicada (P(A))?
b) Qual a probabilidade do aluno ser do sexo masculino
(P(H))?
c) Qual a probabilidade de um aluno ser homem e estar
matriculado no curso matemática aplicada (P(AH))?
d) Qual a probabilidade de um aluno estar matriculado em
matemática aplicada ou ser homem (P(AH))?
Exemplo 5.6 – pg 107, Morettin e Bussab (2010)
a) P(A)? 
P(A)=30/200
b) P(H)?
P(H)=115/200
c) P(AH)? 
P(AH)=15/200
Sexo Homens Mulheres
Curso (H) (F) Total (cursos)
Matemática Pura (M) 70 40 110
Matemática Aplicada (A) 15 15 30
Estatística (E) 10 20 30
Computação (C.) 20 10 30
Total (sexo) 115 85 200
5. P(AH)?
P(AH)=P(A)+P(H)-P(AH)
= 30/200 + 115/200 – 15/200
= 130/200
M A E C
F
H
→ Veja o que acontece se considerarmos a união dos
eventos A e C:
P(AC)=P(A)+P(C)-P(AC)
= 30/200 + 30/200 – 0
= 60/200
Os eventos A e C são disjuntos ou mutuamente exclusivos.
M A E C
Portanto, temos a seguinte regra da adição de
probabilidades:
→ Considere os eventos U e V quaisquer, a regra da
adição de probabilidades é dada por:
P(UV)=P(U)+P(V)-P(UV)
→ Se U e V forem eventos mutuamente exclusivos ou
disjuntos, a regra é dada por:
P(UV)=P(U)+P(V)
Regra da adição de probabilidades
Eventos mutuamente excludentes
• Probabilidades mais complicadas, como 
P(A  B  C) podem ser determinadas pelo uso 
repetido do resultado anterior, e temos a seguinte 
relação:
P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) −P(AC) + 
− P(BC) + P(A  B C)
→ Um resultado análogo vale para um número 
arbitrário de eventos (três ou mais eventos), o 
qualnão é foco do nosso estudo neste 
momento.
Probabilidade da união de três eventos
→ E se for do nosso interesse calcular a probabilidade de 
aluno NÃO estar matriculado no curso da computação?
Temos que 
P(Cc)= P(Ω) - P(C) = 1- P(C) = 1-30/200 = 170/200
P(A)+P(Ac)=1
M A E C
Resumo:Propriedades válidas entre eventos
1. P(A)+P(Ac)=1
2. (AB)c=AcBc
3. (AB)c=AcBc
4. A=
5. AΩ=A
6. c= Ω
7. Ωc= 
8. AAc= 
9. AAc= Ω
10. AΩ = Ω
11. A = A
12. A(BC) = (AB) (AC)
→ Extrai-se uma carta de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade 
de sair um rei ou uma carta de ouro?
Exemplo: Cartas de baralho
→ Dado que um estudante da tabela abaixo, escolhido ao 
acaso, está matriculado no curso de Estatística, qual a 
probabilidade de que seja mulher? 
Do total de 30 alunos que estudam Estatística, tem-se que 20 são 
mulheres. Assim, 
Sexo Homens Mulheres
Curso (H) (F) Total (cursos)
Matemática Pura (M) 70 40 110
Matemática Aplicada (A) 15 15 30
Estatística (E) 10 20 30
Computação (C.) 20 10 30
Total (sexo) 115 85 200