Aula 8 - Prob Condicional e Bayes

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Aula 9 – Probabilidade condicional e 
Prof. Dra. Flávia Cristina M. Queiroz Mariano
UNIFESP – São José dos Campos
BCT - 1º sem./2019
Aula 9 – Probabilidade condicional e 
Teorema de Bayes
� Dado que um estudante, escolhido ao acaso, está matriculado
no curso de Estatística, qual a probabilidade de que seja mulher?
Sexo Homens Mulheres
Curso (H) (F) Total (cursos)
Matemática Pura (M) 70 40 110
Matemática Aplicada (A) 15 15 30
Estatística (E) 10 20 30
Do total de 30 alunos que estudam Estatística, tem-se que 20 são 
mulheres. Assim, 
Estatística (E) 10 20 30
Computação (C.) 20 10 30
Total (sexo) 115 85 200
Uma “informação a mais” do que ocorreu em
determinada etapa do fenômeno aleatório em
estudo pode influenciar nas probabilidades de
ocorrências de etapas sucessivas.
Def.: Sejam A e B dois eventos em um mesmo espaço
amostral, Ω, a probabilidade condicional de A dado
Probabilidade Condicional
amostral, Ω, a probabilidade condicional de A dado
que ocorreu o evento B, é representado por P(A|B) é
dado por:
OBS: Caso P(B)=0, P(A|B) pode ser definido arbitrariamente.
Neste curso, usaremos P(A|B) = P(A).
)(
)(
)|(
BP
BAP
BAP
∩
=
Probabilidade Condicional
No exemplo anterior….
Como queríamos!!
Exemplo: Em uma urna tem-se 40 bolas, sendo 10 pretas e
30 vermelhas (20 com manchas brancas e 10 sem manchas).
Qual a probabilidade de se ter uma bola vermelha com
mancha branca, sabendo que o evento bola vermelha já
ocorreu.
( )
( ) ( ) ( )
| ?
B
P V V
P V V
=
∩
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
| , 0
30 3
( ) 40 4 1 2 1 4 2.|
3 4 2 3 320 1
( ) 40 2
B
B
B
B
B
B
P V V
P V V P V
P V
n V
P V
n P V V
P V V
P Vn V V
P V V
n
∩
= >

= = = Ω ∩
⇒ = = = =
∩ ∩ = = = Ω 
• Da definição de probabilidade condicional, obtemos 
a chamada “regra do produto de probabilidades”,
ou
Regra do produto de probabilidade
0)(),|().()( >=∩ AcomPABPAPBAP
ou
em que A e B são eventos de Ω .
,0)(),|().()( >=∩ BcomPBAPBPBAP
DEF.: Dois eventos A e B são independentes se o 
conhecimento de que B ocorreu não influencia 
na probabilidade de que A ocorra, ou seja,
ou equivalentemente,
Eventos independentes
)().()( BPAPBAP =∩
ou equivalentemente,
�Esta última relação evidencia o significado de 
independência. 
0)(),(
)(
)().(
)|( >== BcomPAP
BP
BPAP
BAP
Independência entre três eventos
ATENÇÃO!!!
1) Certo artigo, ao sair da linha de produção
pode ter no máximo dois defeitos, A e B. Os
defeitos ocorrem independentemente um do
outro com probabilidade 1/10, cada um. Se
um artigo é extraído ao acaso da linha de
Exemplo
um artigo é extraído ao acaso da linha de
produção, qual a probabilidade de :
a) ser defeituoso;
b) ter o defeito A, se é defeituoso ;
c) ser perfeito .
Resolução: - Sejam os eventos : A : “o artigo tem defeito A” 
B : “o artigo tem defeito B” 
D : “o artigo é defeituoso”.
a) ser defeituoso:
P(D) = P( A U B ) = P(A)+P(B)-P(A ∩ B)=P(A)+P(B)-P(A).P(B)= 
= 1/10 + 1/10 - 1/100 = 19/100 
Eventos indepentes
= 1/10 + 1/10 - 1/100 = 19/100 
b) ter o defeito A, se é defeituoso:
c) ser perfeito: 
P(ser perfeito)=P(Dc)= 1 – P(D) = 1 – 19/100 = 81/100.
Exemplo
2) São dadas três caixas, como segue: a caixa I
contém 10 lâmpadas, das quais 4 são
defeituosas; a caixa II contém 6 lâmpadas, das
quais 1 é defeituosa; a caixa III contém 8
lâmpadas, das quais 3 são defeituosas.lâmpadas, das quais 3 são defeituosas.
� Selecionamos uma caixa aleatoriamente e
então retiramos uma lâmpada, também
aleatoriamente. Qual é a probabilidade da
lâmpada ser defeituosa ?
Resolução: Note que realizamos o experimento numa seqüência de 2
etapas: 1. selecionamos uma das três caixas e 2. da caixa
selecionada, retiramos ao acaso uma lâmpada que pode ser
defeituosa (D) ou não defeituosa (N).
O seguinte diagrama em
árvore descreve então este
processo e dá a probabilidade
de cada ramo .
Seja Ci o evento da caixa i ser selecionada. Temos que,
a probabilidade de ocorrer um determinado caminho da árvore é,
pela Regra do Produto, o produto das probabilidades de cada
ramo deste caminho. Por exemplo: a probabilidade de selecionar a
caixa 1 e, na seqüência, uma lâmpada defeituosa é :
P(C1∩D) =P(C1).P(D|C1 )=(1/3) (2/5) = 2/15.
cont. resolução: Como há três caminhos mutuamente 
exclusivos que nos levam a uma lâmpada defeituosa, a 
soma das probabilidades destes caminhos nos dá a 
probabilidade desejada: 
P(D) = P(C1).P(D|C1 )+P(C2).P(D|C2 )+P(C3).P(D|C3) =
= (1/3) (2/5) + (1/3) (1/6) + (1/3) (3/8) = 13/360. 
O seguinte teorema vem formalizar esta idéia. 
Árvore de probabilidades, representa os 
eventos e as probabilidades condicionais 
associadas às realizações. 
Cada um dos caminhos da árvore representa
uma possível ocorrência.
OBS: A soma das probabilidades de
ocorrência de cada ramo é sempre igual a 1.
Suponha que os eventos A1 , A2 , ... , An constituem
uma partição de um espaço amostral S, ou seja, os
eventos Ai são mutuamente exclusivos e sua união é S . Se
B é um outro evento qualquer de S , então :
. )A | B .P( )P(A ... )A | B .P( )P(A )A | B .P( )P(A ) B P( nn2211 +++=
Teorema da Probabilidade Total
Uma das relações mais importantes envolvendo
probabilidades condicionais é dada pelo teorema de Bayes. A
versão mais simples é:
Se os eventos C1 , C2 , ... , Cn constituem uma partição do espaço 
amostral Ω e que suas probabilidades
Teorema de Bayes
.
)(
A)| P(A).P(B
 
P(B)
B) P(A
 ) B|A P(
BP
=
∩
=
amostral Ω e que suas probabilidades
sejam conhecidas . Suponha ainda que para 
um evento A, se conheçam as probabilidades 
P(A|Ci) para todo i. Então, para qualquer j, 
n.,1,2,j ,
)).P(CC |P(A 
)).P(CC |P(A 
 )A |C P(
1i ii
jj
j K==
∑ =
n
Um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o
leite que utiliza de uma fazenda F1, 30% de outra
fazenda F2 e 50% da fazenda F3. Houve uma
fiscalização e observou-se que 20% do leite produzido
por F1 está com adição de água, enquanto que para F2
e F3 a proporção era de 5% e 2%. Na indústria de
sorvetes os galões de leite são armazenados em um
Exemplo (Teo. Bayes)
3
sorvetes os galões de leite são armazenados em um
refrigerador sem identificação das fazendas.
�Qual a probabilidade de que a amostra adulterada
tenha sido obtida do leite fornecido pela fazenda F1,
ou seja, qual a P(F1|A)?
Resolução: Considere o evento A: Leite está adulterado. 
Temos que: P(A|F1)=0,20, P(A|F2)=0,05 e P(A|F3)=0,02. 
F1, F2 e F3 formam uma partição do espaço amostral, 
então:
Exemplo (Teo. Bayes)
1) Defina o espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos: 
a) Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as faces obtidas. 
b) Um dado é lançado duas vezes e a ocorrência de face par ou ímpar é 
observada. 
c) Lance um dado até que a face 5 apareça pela primeira vez
d) Uma urna contém 10 bolas azuis e 10 vermelhas com dimensões 
rigorosamente iguais. Três bolas são selecionadas ao acaso com 
reposição e as cores são anotadas. 
Lista de Exercícios
reposição e as cores são anotadas. 
2) Considere o lançamento de dois dados. Considere os eventos A = soma
dos números obtidos igual a 9, B = número no primeiro dado maior
ou igual a 4 e C = soma dos números menor ou igual a 4.
a) Enumere os elementos de A e B.
b) Obtenha A∩B, A∪B, Ac e A∪C.
c) Obtenha as probabilidades da letra b).
3) Dois dados são jogados e sua soma é anotada.
a) Detemine a probabilidade de que a soma seja 4. 
b) Determine a probabilidade de que a soma seja 11.
c) Determine a probabilidade de que a soma seja 4 ou 11.
4) Uma universidade tem 10 mil alunos dos quais 4 mil são considerados
Lista de Exercícios
4) Uma universidade tem 10 mil alunos dos quais 4 mil são considerados
esportistas. Temos, ainda, que 500 alunos são do curso de biologia
diurno, 700 da biologia noturno, 100 são esportistas e da biologia
diurno e 200 são esportistas e da biologia noturno. Um aluno é
escolhido, ao acaso, e pergunta-se a probabilidadede:
a) Ser esportista.
b) Ser esportista e aluno da biologia noturno.
c) Não ser da biologia.
5) Qual a probabilidade no lançamento de um dado, a face superior do
dado ser maior ou igual a 4 sabendo que ela é par?
6) Na cidade de Taboão da Serra, a probabilidade de chuva no primeiro
dia de setembro é 0,50 e a probabilidade que chova nos dois
primeiros dias de setembro é 0,40. Se no primeiro de setembro
choveu, qual é a probabilidade que não chova no dia seguinte?
Lista de Exercícios
choveu, qual é a probabilidade que não chova no dia seguinte?
7) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A
probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5.
Considerando os eventos independentes:
a) Qual a probabilidade, ao mesmo tempo, de o cão estar vivo e de o
gato estar vivo daqui a 5 anos?
b) Qual a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos?