Resumo | Função do 2º grau

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FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
 
Definição 
Função do segundo grau, ou função quadrática, 
é toda função f: R→R definida por 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0 
 
Raízes 
As raízes da função correspondem aos valores 
de x para os quais tem-se 𝑓(𝑥) = 0. Portanto, 
na função quadrática, as raízes podem ser 
obtidas pela fórmula de Bhaskara: 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
, ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
 
Existem três possibilidades para as raízes: 
 Duas raízes reais e distintas, se ∆> 0; 
 Duas raízes reais e iguais, se ∆= 0; 
 Nenhuma raiz real, se ∆< 0. 
Gráfico 
O gráfico de uma função quadrática é uma 
parábola, com a concavidade voltada para cima 
ou para baixo, se a > 0 ou a < 0, respectivamente. 
 
 
 
 a > 0 a < 0 
O ponto de máximo ou mínimo da função chama-
se vértice da parábola, e suas coordenadas são 
dadas por: 
𝑥𝑣 =
−𝑏
2𝑎
 e 𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
 
O gráfico corta o eixo x (eixo horizontal) nas 
raízes (caso sejam reais) e o eixo y (eixo vertical) 
no valor do coeficiente c, pois para 𝑥 = 0, temos 
𝑓(0) = 𝑎 ∙ 02 + 𝑏 ∙ 0 + 𝑐 = 𝑐. 
 
Forma fatorada 
Em alguns casos, é útil escrever a função 
utilizando as suas raízes. Sejam 𝑟1 e 𝑟2 as raízes, 
podemos escrever a função da seguinte maneira: 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑟1)(𝑥 − 𝑟2) 
Exercícios resolvidos 
 
1) Determine a função do 2º grau cujas raízes 
são -1 e 3, sabendo que seu gráfico passa pelo 
ponto (2, 6). 
 
Como conhecemos as raízes, devemos utilizar a 
forma fatorada da função: 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − (−1))(𝑥 − 3) 
Falta determinar o valor de a, e isso é obtido com 
qualquer ponto conhecido da função, pois tendo 
x e f(x) resta o coeficiente a determinar. Como o 
ponto (2, 6) pertence ao gráfico, temos: 
6 = 𝑎(2 − (−1))(2 − 3) 
6 = −3𝑎 
−2 = 𝑎 
Logo, a função é 
𝑓(𝑥) = −2(𝑥 − (−1))(𝑥 − 3) 
𝑓(𝑥) = −2(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) 
𝑓(𝑥) = −2(𝑥2 − 2𝑥 − 3) 
𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 + 6 
 
2) (UFPR) Suponha que, num período de 45 dias, 
o saldo bancário de uma pessoa possa ser 
descrito pela expressão 𝑆(𝑡) = 10𝑡2 − 240𝑡 +
1400 sendo S(t) o saldo, em reais, no dia t, para 
𝑡 ∈ [1, 45]. Considerando os dados 
apresentados, é correto afirmar que: 
 
a) o saldo aumentou em todos os dias do 
período. 
b) o saldo diminuiu em todos os dias do período. 
c) o menor saldo no período ocorreu em t = 12. 
d) o menor saldo no período foi R$ 12,00. 
e) o saldo ficou positivo em todos os dias do 
período. 
 
Trata-se de uma parábola com a concavidade 
voltada para cima, então a função tem um ponto 
de mínimo, que neste caso representa o saldo 
mínimo e o período correspondente. Calculando 
o valor de t no ponto mínimo, temos: 
𝑥𝑣 =
−(−240)
2 ∙ 10
=
240
20
= 12. 
Logo, o saldo mínimo ocorreu quando t = 12. 
 
Alternativa correta: C. 
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