Lista01-CV

Prévia do material em texto

1.1 Decidir se e´ verdadeira ou falsa cada uma das afirmac¸o˜es:
a) Se −→u = −→v enta˜o |−→u | = |−→v |. f) Se |−→w | = |−→u | + |−→v |, enta˜o −→w ,−→u e −→v sa˜o
paralelos.
b) Se |−→u | = |−→v | enta˜o −→u = −→v . g) Se −−→AB = −−→CD, enta˜o ABCD, nessa ordem, e´
um paralelogramo.
c) Se −→u q −→v enta˜o −→u = −→v . h) |5−→w | = |−5−→w | = 5 |−→w | .
d) Se −→u = −→v enta˜o −→u q −→v . i) Os vetores 3−→v e 4−→v sa˜o paralelos e de mesmo
sentido.
e) Se −→w = −→u +−→v enta˜o |−→w | = |−→u |+ |−→v | . j) Se −→u q −→v , |−→u | = 2 e |−→v | = 4, enta˜o −→v = 2−→u
ou −→v = −2−→u .
1.2 Demonstrar que os pontos me´dios dos lados de um quadrila´tero qualquer sa˜o ve´rtices de um
paralelogramo.
1.3 Demonstrar que o segmento de extremos nos pontos me´dios dos lados na˜o paralelos de um
trape´zio e´ paralelo a`s bases e igual a` sua semi-soma.
1.4 Dados os vetores −→u = 2−→i − 3−→j , −→v = −→i −−→j e −→w = −2−→i +−→j determinar
a) 2−→u −−→v c)12 −→u − 2−→v −−→w
b) −→v −−→u + 2−→w d) 3 −→u − 12−→v − 12−→w
1.5 Dados os vetores −→u = (2,−4),−→v = (−5, 1) e −→w = (−12, 6), determinar a1 e a2 tais que
−→w = a1−→u + a2−→v .
1.6 Sejam os pontos A = (−5, 1) e B = (1, 3). Determinar o vetor −→v = (a, b) tal que
a) B = A + 2−→v b) A = B + 3−→v
1.7 Sejam os pontos A = (−2, 3) e B = (6,−3) extremidades de um segmento. Determinar
1
a) os pontos C,D e E que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento;
b) os pontos F e G que dividem o segmento AB em treˆs partes de mesmo comprimento.
1.8 Dados os vetores −→u = (1,−1),−→v = (−3, 4) e −→w = (8,−6), calcular
a) |−→u | c) |−→w | e) |2−→u −−→w | g) −→v|−→v |
b) |−→v | d) |−→u +−→v | f) |−→w − 3−→u | h)
∣∣∣∣ −→u|−→u |
∣∣∣∣
1.9 Que condic¸o˜es devem satisfazer os vetores −→u e −→v para que os vetores −→u +−→v e −→u −−→v sejam
linearmente dependentes?
1.10 Dados os vetores −→u = (2, 3,−1),−→v = (1,−1, 1) e −→w = (−3, 4, 0), calcular
a) o vetor −→x de modo que 3 −→u −−→v +−→x = 4−→x + 2−→w ;
b) encontrar os nu´meros a1, a2 e a3 tais que a1−→u+ a2−→v + a3−→w = (−2, 13,−5).
1.11 Determinar os treˆs ve´rtices de um triaˆngulo sabendo que os pontos me´dios de seus lados sa˜o
M(5, 0,−2), N(3, 1,−3) e P (4, 2, 1).
1.12 Apresentar um vetor gene´rico que satisfaz a condic¸a˜o:
a) paralelo ao eixo dos x; e) ortogonal ao eixo dos x;
b) representao no eixo dos z; f) ortogonal ao eixo dos z;
c) paralelo ao plano xy; g) ortogonal ao plano xy;
d) paralelo ao plano yz; h) ortogonal ao plano xz.
1.13 Quais dos seguintes vetores −→u = (4,−6, 2),−→v = (−6, 9,−3), −→w = (14,−21, 9) e −→t =
(10,−15, 5) sa˜o paralelos?
1.14 Determinar o valor de n para que o vetor −→v = (n,−12 , 34) seja unita´rio.
1.15 Obter um ponto do eixo das abscissas equidistante dos pontos A(3,−1, 4) e B(1,−2,−3).
1.16 Verifique se os pontos M(3, 1, 2), N(2, 3, 0) e P (2, 2, 1) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo.
1.17 Esboc¸e os vetores −→u = −3−→i +−→j + 2−→k , −→v = 2−→i −−→j − 4−→k e −→w = −→j − 2−→k .
1.18 Os vetores −→u = 4−→i +−→j − 3−→k , −→v = 2−→i +−→j + 3−→k e −→w = −3−→i + 9−→j −−→k sa˜o LI ou LD?
Eles formam uma base do R3? Se for, determine as coordenadas do vetor −→a = −→i + −→j + −→k em
relac¸a˜o a essa base.
1.19 Seja { −→a , −→b , −→c } uma base. Verifique se { −→a − 2−→b + −→c , 2−→a +−→b − 3−→c ,−→b + 5−→c } e´ base.
1.20 Sejam −→u = (0, 1, 1),−→v = (2, 1, 0) e −→w = (1, 0, 1) . Verifique se {−→u ,−→u ,−→u } e´ uma base positiva
2
ou negativa. Obtenha as coordenadas de −→a = (3, 2, 2) nessa base.
Respostas
1.1 a) V, b) F, c) F, d) V, e) F, f) V, g) F, h) V, i) V, j) V.
1.4 a) 3
−→
i − 5−→j , b) −5−→i + 4−→j , c) −→i − 12
−→
j , d) 132
−→
i − 9−→j
1.5 a1 = −1, a2 = 2. 1.6 a) −→v = (3, 1) b) −→v = (−2,−23)
1.7 a) C = (0, 32), D = (2, 0) e E = (4,−32) b) F = (23 , 1) e G = (103 ,−1)
1.8 a)
√
2, b) 5, g) (-35 ,
4
5), h) 1
1.9 −→u = −→0 , ou −→v = −→0 ou −→u e −→v serem colineares.
1.10 a) −→x = 13(11, 2,−4) b) a1 = 2, a2 = −3, a3 = 1.
1.11 (4,−1,−6), (6, 1, 2) e (2, 3, 0).
1.12 a) (x, 0, 0) b) (0, 0, z) e) (0, y, z) g) (0, 0, z)
1.13 sa˜o paralelos −→u , −→v e −→t . 1.14 ±
√
3
4 1.15 P (3, 0, 0)
1.16 Basta testar se os vetores
−−→
MN ,
−−→
NP e
−−→
PM na˜o sa˜o paralelos dois a dois.
1.18 Verifique se ∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 2 −3
1 1 9
−3 3 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0.
Se sim, os vetores −→u , −→v e −→w sera˜o LI e formam uma base para o R3.Enta˜o escreva −→a = x−→u +y
−→v + z −→w e resolva o sistema 3× 3 para x, y e z.
1.19 Esses vetores sera˜o LI se
m(−→a − 2 −→b + −→c ) + n(2−→a + −→b − 3 −→c ) + p(−→b + 5−→c ) = −→0 (1)
implicar m = n = p = 0. Calcule o determinante do sistema homogeˆneo (1) e verifique se os
vetores sa˜o LI (det 6= 0).
1.20 Primeiro, verifique se os vetores sa˜o LI, como na questa˜o 19. Segundo, escreva −→a = x−→u + y
−→v + z −→w e fac¸a como na questa˜o 18.
3