Considere duas variáveis aleatórias discretas X e Y, ambas com distribuição binomial. Sabe-se que: X: b(2, p) e Y: b(4, p). Se P (X 1) = 5/9 então ...

Para encontrar P(Y = 1), podemos usar a relação entre as variáveis aleatórias X e Y. Sabemos que X segue uma distribuição binomial com n = 2 e p como parâmetro de sucesso. Portanto, P(X = 1) = 5/9. Agora, vamos usar a relação entre X e Y. Como Y segue uma distribuição binomial com n = 4 e o mesmo parâmetro de sucesso p, podemos dizer que P(Y = 1) é igual a P(X = 1) + P(X = 0) * P(Y = 1 | X = 0). Sabemos que P(X = 1) = 5/9. Agora, precisamos encontrar P(X = 0) e P(Y = 1 | X = 0). P(X = 0) é igual a 1 - P(X = 1). Portanto, P(X = 0) = 1 - 5/9 = 4/9. Agora, precisamos encontrar P(Y = 1 | X = 0). Isso significa encontrar a probabilidade de Y ser igual a 1, dado que X é igual a 0. Como X e Y são independentes, P(Y = 1 | X = 0) é igual a P(Y = 1). Agora, podemos calcular P(Y = 1) usando a fórmula: P(Y = 1) = P(X = 1) + P(X = 0) * P(Y = 1 | X = 0) = 5/9 + (4/9) * P(Y = 1) Vamos chamar P(Y = 1) de p1 para facilitar os cálculos. p1 = 5/9 + (4/9) * p1 Agora, podemos resolver essa equação para encontrar p1: p1 - (4/9) * p1 = 5/9 (5/9) * p1 = 5/9 p1 = 1 Portanto, P(Y = 1) é igual a 1. A resposta correta é a alternativa E) 16/81.