Sejam I =, J= ideais de um anel A. Mostre que I.J = {xy; x pertencente a I e y pertencente a J} é um ideal de A e I.J=.?

Question

Sejam I =< a>, J=< b> ideais de um anel A. Mostre que I.J = {xy; x pertencente a I e y pertencente a J} é um ideal de A e I.J=< a.b>.?

Ed · Answer

Para mostrar que I.J é um ideal de A, precisamos verificar se ele satisfaz as duas propriedades de um ideal:

1. Fechamento sob adição: Se x e y pertencem a I.J, então existem a pertencente a I e b pertencente a J, tais que x = a.b e y = c.d. Então, x + y = a.b + c.d = (a + c).b + a.(d), que pertence a I.J, pois (a + c) pertence a I e b pertence a J.

2. Fechamento sob multiplicação por um elemento de A: Se x pertence a I.J e r pertence a A, então existem a pertencente a I e b pertencente a J, tais que x = a.b. Então, r.x = r.(a.b) = (r.a).b, que pertence a I.J, pois r.a pertence a I e b pertence a J.

Portanto, I.J é um ideal de A.

Para mostrar que I.J = , precisamos mostrar que I.J é um ideal que contém a.b e que todo ideal que contém a.b está contido em I.J.

Primeiro, observe que a.b pertence a I.J, pois a pertence a I e b pertence a J.

Agora, seja K um ideal que contém a.b. Então, para todo x pertencente a K, temos que x = r.(a.b) para algum r pertencente a A. Mas então, x = (r.a).b, que pertence a I.J, pois r.a pertence a I e b pertence a J. Portanto, K está contido em I.J.

Assim, concluímos que I.J = .

Sejam I =< a>, J=< b> ideais de um anel A. Mostre que I.J = {xy; x pertencente a I e y pertencente a J} é um ideal de A e I.J=< a.b>.?

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