8) Dada la superficie 94 22 yxz += , hallar la ecuación cartesiana del plano tangente a la misma en el punto (2, 3, 2).

Para encontrar a equação cartesiana do plano tangente à superfície dada no ponto (2, 3, 2), precisamos calcular o vetor normal à superfície nesse ponto. Primeiro, vamos calcular os gradientes parciais da superfície em relação às variáveis x, y e z. Supondo que a superfície seja dada pela função f(x, y, z), temos: ∂f/∂x = 9y ∂f/∂y = 4x ∂f/∂z = 2 Agora, vamos calcular o vetor gradiente da superfície no ponto (2, 3, 2): ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z) = (9y, 4x, 2) = (9*3, 4*2, 2) = (27, 8, 2) Esse vetor é normal ao plano tangente à superfície no ponto (2, 3, 2). Agora, podemos usar a equação geral do plano para encontrar a equação cartesiana: Ax + By + Cz = D Substituindo as coordenadas do ponto (2, 3, 2) e os valores do vetor normal (27, 8, 2), temos: 27(x - 2) + 8(y - 3) + 2(z - 2) = 0 Simplificando a equação, temos: 27x - 54 + 8y - 24 + 2z - 4 = 0 27x + 8y + 2z - 82 = 0 Portanto, a equação cartesiana do plano tangente à superfície no ponto (2, 3, 2) é 27x + 8y + 2z - 82 = 0.