Determinar uma matriz P que diagonaliza ortogonalmente a matriz A =  5 3 3 5

Para diagonalizar ortogonalmente a matriz A, precisamos encontrar a matriz P tal que P^T * A * P seja uma matriz diagonal. Para isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores de A. Começamos encontrando os autovalores: det(A - λI) = 0 |5-λ 3| |3 5-λ| (5-λ)(5-λ) - 3*3 = 0 λ^2 - 10λ + 16 = 0 (λ-2)(λ-8) = 0 Logo, os autovalores são λ1 = 2 e λ2 = 8. Agora, encontramos os autovetores correspondentes: Para λ1 = 2: (A - 2I) * v1 = 0 |3 3| * |x| = |0| |3 3| * |y| = |0| Simplificando, temos: x + y = 0 Logo, o autovetor correspondente a λ1 é um múltiplo de (-1, 1). Para λ2 = 8: (A - 8I) * v2 = 0 |-3 3| * |x| = |0| |3 -3| * |y| = |0| Simplificando, temos: -x + y = 0 x - y = 0 Logo, o autovetor correspondente a λ2 é um múltiplo de (1, 1). Agora, normalizamos os autovetores: v1 = (-1/√2, 1/√2) v2 = (1/√2, 1/√2) A matriz P é formada pelos autovetores normalizados: P = |-1/√2 1/√2| |1/√2 1/√2| Para verificar se P diagonaliza ortogonalmente A, calculamos P^T * A * P: P^T = |-1/√2 1/√2| |1/√2 1/√2| P^T * A = |-3/√2 3/√2| |3/√2 3/√2| (P^T * A) * P = |-4 0| |0 12| Portanto, a matriz P que diagonaliza ortogonalmente A é: P = |-1/√2 1/√2| |1/√2 1/√2| E a matriz diagonal resultante é: D = |-4 0| |0 12|