Seja A a seguinte matriz, responda: a) A é diagonalizável? b) Se a resposta ao item (a) foi positiva, encontre a matriz P que diagonaliza A.

Dada a matriz A, para verificar se ela é diagonalizável, precisamos verificar se ela possui um conjunto completo de autovetores linearmente independentes. Se possuir, então podemos diagonalizá-la. a) Para verificar se A é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovetores. Resolvendo a equação (A - λI)x = 0, onde λ é o autovalor e I é a matriz identidade, encontramos que os autovalores de A são λ1 = 2 e λ2 = 3. Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Resolvendo as equações (A - 2I)x = 0 e (A - 3I)x = 0, encontramos que os autovetores correspondentes são, respectivamente, v1 = (1, -1) e v2 = (1, 1). Como temos dois autovetores linearmente independentes, podemos concluir que A é diagonalizável. b) Para encontrar a matriz P que diagonaliza A, precisamos colocar os autovetores de A em uma matriz P. Assim, temos: P = [v1 v2] = [(1, -1) (1, 1)] Agora, precisamos encontrar a matriz diagonal D tal que A = PDP^-1. Para isso, temos: D = [λ1 0; 0 λ2] = [2 0; 0 3] E a matriz inversa de P é: P^-1 = (1/2) [-1 1; 1 1] Portanto, temos: A = PDP^-1 = [(1, -1) (1, 1)] [2 0; 0 3] (1/2) [-1 1; 1 1] = [(1, -1) (1, 1)] [(-1/2) (1/2); (1/2) (1/2)] = [(1, -1) (1, 1)] [(1/2) (-1/2); (1/2) (1/2)] = [(0, -1); (1, 0)] [(1/2) (-1/2); (1/2) (1/2)] = [(1/2, 1/2); (-1/2, 1/2)] Portanto, a matriz P que diagonaliza A é P = [(1, -1) (1, 1)] e a matriz diagonal correspondente é D = [2 0; 0 3].