Una empresa fabrica tres productos distintos. La fabricación de x, y, z miles de unidades, respectivamente, le reporta unos beneficios de P (x, y,...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Primeiro, vamos escrever a função objetivo e a restrição em forma de equações: Função objetivo: P(x, y, z) = 3x + 6y + 6z Restrição: g(x, y, z) = 2x^2 + y^2 + 4z^2 - 8800 = 0 Agora, vamos definir a função Lagrangeana: L(x, y, z, λ) = P(x, y, z) - λg(x, y, z) L(x, y, z, λ) = 3x + 6y + 6z - λ(2x^2 + y^2 + 4z^2 - 8800) Para encontrar o máximo da função objetivo sujeita à restrição, precisamos encontrar os pontos críticos da função Lagrangeana. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de L em relação a x, y, z e λ, e igualá-las a zero: ∂L/∂x = 3 - 4λx = 0 ∂L/∂y = 6 - 2λy = 0 ∂L/∂z = 6 - 8λz = 0 ∂L/∂λ = 2x^2 + y^2 + 4z^2 - 8800 = 0 Resolvendo esse sistema de equações, obtemos: x = √(1100/11) ≈ 10,954 y = √(3300/11) ≈ 18,708 z = √(1100/22) ≈ 7,746 λ = 3/220 Substituindo esses valores na função objetivo, obtemos o máximo benefício possível para a empresa: P(x, y, z) = 3x + 6y + 6z ≈ 172,392 mil euros Portanto, o máximo benefício possível para a empresa é de aproximadamente 172,392 mil euros.