Suponhamos que ∑an e ∑bn sejam séries de termos positivos. Mostre que (a) Se lim an/bn = 0 e ∑bn converge, então ∑an converge. (b) Se lim an/bn =...

(a) Para provar que se lim an/bn = 0 e ∑bn converge, então ∑an converge, podemos usar o critério de comparação. Como lim an/bn = 0, então existe um número real positivo M tal que an/bn < M para todo n. Assim, temos que an < Mbn para todo n. Como ∑bn converge, então existe um número real positivo K tal que a soma dos primeiros n termos de bn é menor ou igual a K para todo n. Portanto, a soma dos primeiros n termos de an é menor ou igual a MK para todo n, o que implica que ∑an converge. (b) Para provar que se lim an/bn = +∞ e ∑bn diverge, então ∑an diverge, podemos usar novamente o critério de comparação. Como lim an/bn = +∞, então para todo número real positivo M, existe um número natural N tal que an/bn > M para todo n > N. Assim, temos que an > Mbn para todo n > N. Como ∑bn diverge, então a soma dos primeiros n termos de bn é maior do que qualquer número real positivo para todo n > N. Portanto, a soma dos primeiros n termos de an é maior do que M vezes a soma dos primeiros n termos de bn para todo n > N, o que implica que ∑an diverge.