Sobre conjuntos abertos na reta, mostre que: (a) se {Xi}i∈I é uma famı́lia de conjuntos abertos, então⋃ i∈I Xi é um conjunto aberto. (b) se X e ...

(a) Para mostrar que a união de uma família de conjuntos abertos é um conjunto aberto, considere uma família {Xi}i∈I de conjuntos abertos. Seja x um ponto em ⋃i∈IXi. Então, x pertence a algum Xi, digamos Xi0. Como Xi0 é aberto, existe um intervalo aberto (a,b) tal que x ∈ (a,b) ⊆ Xi0 ⊆ ⋃i∈IXi. Portanto, ⋃i∈IXi é aberto. (b) Para mostrar que a interseção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto, considere dois conjuntos abertos X e Y. Seja z um ponto em X ∩ Y. Como X e Y são abertos, existem intervalos abertos (a,b) e (c,d) tais que z ∈ (a,b) ⊆ X e z ∈ (c,d) ⊆ Y. Então, z ∈ (max{a,c},min{b,d}) ⊆ X ∩ Y. Portanto, X ∩ Y é aberto. (c) Um exemplo de interseção arbitrária de conjuntos abertos que não é um conjunto aberto é dado por Xn = (−1/n,1/n) para n ∈ N. Então, ⋂n∈NXn = {0}, que não é aberto.