5. Sean f y g caminos en R2. Demuestre: a) d dt 〈f(t), g(t)〉 = 〈f ′(t), g(t)〉+ 〈f(t), g′(t)〉. b) d dt ‖f(t)‖ = 〈f(t), f ′(t)〉 ‖f(t)‖ ; f(t) 6= 0.

Para demonstrar as igualdades solicitadas, vamos usar a definição de derivada e as propriedades do produto escalar e da norma. a) Vamos começar pela primeira igualdade: d/dt = d/dt (f(t) * g(t)) = f'(t) * g(t) + f(t) * g'(t) = + b) Agora, vamos demonstrar a segunda igualdade: d/dt ||f(t)|| = d/dt sqrt() = d/dt sqrt(||f(t)||^2) = d/dt sqrt() = 1/2 * (1/sqrt()) * d/dt () = 1/2 * (1/||f(t)||) * 2 * = / ||f(t)|| Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.