547 ∫ 3 −1 ∫ 2x+3 x2 x dy dx.

Para resolver a integral dupla dada, primeiro vamos integrar em relação a y e depois em relação a x. Vamos lá: ∫ 3 −1 ∫ 2x+3 x^2 x dy dx Integrando em relação a y, temos: ∫ 3 −1 (x^2xy + 3xy) dy dx Agora, vamos integrar em relação a y: ∫ 3 −1 [(x^2xy^2)/2 + (3xy^2)/2] de y, de -1 a 3 Aplicando a regra do valor médio, temos: [(x^2x(3^2))/2 + (3x(3^2))/2] - [(x^2x(-1^2))/2 + (3x(-1^2))/2] Simplificando, temos: [(9x^3)/2 + (27x)/2] - [(x^2)/2 - (3x)/2] Agora, vamos integrar em relação a x: ∫ [(9x^3)/2 + (27x)/2 - (x^2)/2 + (3x)/2] dx Integrando, temos: [(9x^4)/8 + (27x^2)/4 - (x^3)/6 + (3x^2)/4] de x, de -1 a 3 Substituindo os limites de integração, temos: [(9(3^4))/8 + (27(3^2))/4 - (3^3)/6 + (3(3^2))/4] - [(9(-1^4))/8 + (27(-1^2))/4 - (-1^3)/6 + (3(-1^2))/4] Simplificando, temos: [(243)/8 + (243)/4 - (27)/6 + (27)/4] - [(-9)/8 - (27)/4 + (1)/6 - (3)/4] Calculando os valores, temos: [(243)/8 + (243)/4 - (27)/6 + (27)/4] - [(-9)/8 - (27)/4 + (1)/6 - (3)/4] ≈ 91.125 Portanto, o valor da integral dupla é aproximadamente 91.125.