Encontrar el volumen encerrado por las dos esferas x^2 + y^2 + z^2 = 1 y x^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 1. Solución 632: La región cuyo volumen se solicit...

Encontrar el volumen encerrado por las dos esferas x^2 + y^2 + z^2 = 1 y x^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 1.
Solución 632:
La región cuyo volumen se solicita es la intersección de las esferas de radio unitario centradas en el origen y el punto (0, 1, 0), respectivamente. Si tenemos en cuenta que el corte de tales esferas tiene lugar en el plano y = 1/2 y su proyección sobre el plano XZ tiene por ecuación x^2 + z^2 = 3/4, debido a la simetría, el volumen que buscamos será el doble del volumen del casquete x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1, 1/2 ≤ y ≤ 1.
Debido de nuevo a la simetría, y por comodidad, podemos cambiar el nombre de las variables y calcular el volumen del casquete x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1, 1/2 ≤ z ≤ 1.
En coordenadas cilíndricas, este volumen se calcula cómodamente ∫ 2π 0 ∫ √3/2 0 ∫ √1-r^2 1/2 r dz dr dθ.
Las primitivas involucradas son inmediatas mediante cambios de variable apropiados. El valor final del volumen es 5π/12.