3. Estudiar si son, o no, ortogonales, los endomorfismos f1, f2, f3, f4 de R2 cuyas
matrices, en la base canónica de R2, son:
a) A1 =
(
2 1
1 1
)
...

Question

3. Estudiar si son, o no, ortogonales, los endomorfismos f1, f2, f3, f4 de R2 cuyas
matrices, en la base canónica de R2, son:
a) A1 =
(
2 1
1 1
)
, b) A2 =
(
0 −1
1 0
)
,
c) A3 =
(
1√
2
− 1√
2
1√
2
1√
2
)
, d) A4 =
(
1
2
√
3
2
−
√
3
2
1
2
)
En caso afirmativo, decir que transformación representan.
Solución:
Puesto que las matrices están expresadas en bases ortonormales, para saber si los
endomorfismos son o no ortogonales basta calcular el producto de cada una de ellas
por su traspuesta y ver si el resultado es la identidad.
a)
At1A1 =
(
2 1
1 1
)(
2 1
1 1
)
=
(
5 3
3 2
)
6=
(
1 0
0 1
)
.
Luego f1 no es ortogonal.
b)
At2A2 =
(
0 1
−1 0
)(
0 −1
1 0
)
=
(
1 0
0 1
)
.

Ed · Answer

Para determinar se os endomorfismos f1, f2, f3, f4 de R2 são ortogonais, precisamos calcular o produto de cada matriz pelo seu transposto e verificar se o resultado é a matriz identidade.

a) A1 = 
(
2 1
1 1
)

At1A1 = 
(
2 1
1 1
)
(
2 1
1 1
)
=
(
5 3
3 2
)

O resultado não é a matriz identidade, portanto, f1 não é ortogonal.

b) A2 = 
(
0 -1
1 0
)

At2A2 = 
(
0 1
-1 0
)
(
0 -1
1 0
)
=
(
1 0
0 1
)

O resultado é a matriz identidade, portanto, f2 é ortogonal.

c) A3 = 
(
1/√2 -1/√2
1/√2 1/√2
)

At3A3 = 
(
1/√2 1/√2
-1/√2 1/√2
)
(
1/√2 -1/√2
1/√2 1/√2
)
=
(
1 0
0 1
)

O resultado é a matriz identidade, portanto, f3 é ortogonal.

d) A4 = 
(
1 2√3
2 -√3
2 1
)

At4A4 = 
(
1 2√3
2 -√3
)
(
1 2√3
2 -√3
)
=
(
7 0
0 7
)

O resultado não é a matriz identidade, portanto, f4 não é ortogonal.

Resumindo:
f1 não é ortogonal.
f2 é ortogonal.
f3 é ortogonal.
f4 não é ortogonal.

3. Estudiar si son, o no, ortogonales, los endomorfismos f1, f2, f3, f4 de R2 cuyas matrices, en la base canónica de R2, son: a) A1 = ( 2 1 1 1 ) ...

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