12. Consideremos el endomorfismo de R4 definido por f(e1 + e2) = 2(e1 − e2) f(e1 − e2 + e3) = e1 − e2 + 3e3 f(2e2 + e3) = 2e1 − 2e2 + 3e3 f(e4) = 0...

Para encontrar os valores próprios desse endomorfismo, precisamos resolver a equação característica. A matriz associada a esse endomorfismo é: [2 -2 0 0] [1 -1 1 0] [0 2 -2 0] [0 0 0 0] Calculando o determinante da matriz (2 - λ)(-1 - λ)(-2 - λ)(-λ) = 0, obtemos a equação característica: λ^4 - λ^3 - 4λ^2 + 4λ = 0 Fatorando a equação, temos: λ(λ - 2)(λ + 1)(λ - 2) = 0 Portanto, os valores próprios são λ = 0, λ = 2 e λ = -1. Agora, para cada valor próprio, encontramos o subespaço de vetores próprios associado. Para λ = 0, resolvemos o sistema homogêneo (A - 0I)v = 0, onde A é a matriz associada ao endomorfismo e I é a matriz identidade. Encontramos o espaço nulo da matriz A: [2 -2 0 0] [v1] [0] [1 -1 1 0] [v2] = [0] [0 2 -2 0] [v3] [0] [0 0 0 0] [v4] [0] Resolvendo o sistema, obtemos v1 = v2 = v3 = v4. Portanto, o subespaço de vetores próprios associado a λ = 0 é o espaço gerado por [1 1 1 1]. Para λ = 2, resolvemos o sistema homogêneo (A - 2I)v = 0: [0 -2 0 0] [v1] [0] [1 -3 1 0] [v2] = [0] [0 2 -4 0] [v3] [0] [0 0 0 -2] [v4] [0] Resolvendo o sistema, obtemos v1 = v2 = v3 = 0 e v4 é livre. Portanto, o subespaço de vetores próprios associado a λ = 2 é o espaço gerado por [0 0 0 1]. Para λ = -1, resolvemos o sistema homogêneo (A + I)v = 0: [3 -2 0 0] [v1] [0] [1 -2 1 0] [v2] = [0] [0 2 -1 0] [v3] [0] [0 0 0 1] [v4] [0] Resolvendo o sistema, obtemos v1 = v2 = v3 = 0 e v4 é livre. Portanto, o subespaço de vetores próprios associado a λ = -1 é o espaço gerado por [0 0 0 1]. Para estudar se o endomorfismo diagonaliza, precisamos verificar se a matriz A é diagonalizável. Para isso, verificamos se existem vetores linearmente independentes correspondentes aos valores próprios. Nesse caso, temos vetores linearmente independentes para cada valor próprio, portanto, o endomorfismo diagonaliza.