7. UNA VARIABLE: LÍMITES Y DERIVABILIDAD 4. Una función f : R → R verifica f(7) = 334, f ′(7) = 0 y f ′′(7) = 0. ¿Qué puedes decir (en términos de ...
4. Una función f : R → R verifica f(7) = 334, f ′(7) = 0 y f ′′(7) = 0. ¿Qué puedes decir (en términos de crecimiento, extremos, inflexión...) si además sabes que f ′′′(7) = 1? ¿Y si lo que sabes es que f ′′′(7) = 0 y f ′′′′(7) = 31? ¿Y si lo que sabes es que f ′′′(7) = 0 y f ′′′′(7) = −π?
Solución: Hay que usar el comentario que hay al final de la página 108 de los apuntes. En el primer caso la primera de las derivadas sucesivas que no se anula en a = 7 es la tercera, de orden impar, luego f tiene en a = 7 un punto de inflexión. En los otros dos casos eso ocurre en la cuarta derivada, de orden par, por lo que en el segundo caso f alcanza un mínimo relativo en a = 7 (al ser positivo el valor de la derivada cuarta) y en el tercero alcanza un máximo relativo.
💡 1 Resposta
Ed 
En el primer caso, donde f ′′′(7) = 1, podemos decir que la función f tiene un punto de inflexión en x = 7. Esto se debe a que la primera derivada sucesiva que no se anula en x = 7 es la tercera derivada, que tiene un orden impar. En el segundo caso, donde f ′′′(7) = 0 y f ′′′′(7) = 31, podemos decir que la función f alcanza un mínimo relativo en x = 7. Esto se debe a que la primera derivada sucesiva que no se anula en x = 7 es la cuarta derivada, que tiene un orden par y un valor positivo. En el tercer caso, donde f ′′′(7) = 0 y f ′′′′(7) = −π, podemos decir que la función f alcanza un máximo relativo en x = 7. Esto se debe a que la primera derivada sucesiva que no se anula en x = 7 es la cuarta derivada, que tiene un orden par y un valor negativo (−π). Espero que isso tenha esclarecido sua dúvida! Se tiver mais alguma pergunta, estou aqui para ajudar.
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