3. a) Si A = [aij ] ∈ Km×n, entonces AT = [a′ji] ∈ Kn×m con a′ji = aij . Pero(AT)T = [a′′ij ] ∈ Km×n con a′′ij = a′ji. Es decir, a′′ij = a′ji = aij...

Vamos analisar cada uma das afirmações: a) Se A = [aij] ∈ Km×n, então AT = [a′ji] ∈ Kn×m com a′ji = aij. Mas (AT)T = [a′′ij] ∈ Km×n com a′′ij = a′ji. Ou seja, a′′ij = a′ji = aij, portanto (AT)T = A. Essa afirmação está correta. A transposta de uma matriz transposta é igual à matriz original. b) Se A = [aij] ∈ Km×n, AT = [a′ji] ∈ Kn×m com a′ji = aij. Se B = [bij] ∈Km×n, BT = [b′ji] ∈ Kn×m com b′ji = bij. Então, (A+B)T = [aij + bij]T = [cji] com cji = aji + bji. Por outra parte, AT + BT = [aji] + [bji] = [aji + bji] = [cji], o que implica que (A+B)T = AT + BT. Essa afirmação também está correta. A transposta da soma de duas matrizes é igual à soma das transpostas das matrizes. c) Razonando de manera análoga: (λA)T = [λaij]T = [λaji] = λ[aji] = λAT. Essa afirmação também está correta. A transposta de um múltiplo escalar de uma matriz é igual ao múltiplo escalar da transposta da matriz. Portanto, todas as afirmações são verdadeiras.