5. Demostrar que B ={  1 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 0 ... ... 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 0  ,  0 1 . . . 0 0 0 0 . . . 0 0 ... ......

Para demonstrar que a matriz B é uma base do espaço vetorial Km×n, precisamos verificar duas condições: linearmente independente e geradora. 1. Linearmente independente: Para mostrar que as colunas da matriz B são linearmente independentes, devemos verificar se a única solução para a equação Bx = 0 é x = 0, onde 0 é o vetor nulo. Seja x = [x1, x2, ..., xn] um vetor coluna qualquer. A equação Bx = 0 pode ser escrita como:  1 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 0 ... ... 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 0   x1  =  0  Isso implica que x1 = 0. Portanto, a primeira coluna de B é linearmente independente. Analogamente, podemos mostrar que as demais colunas de B também são linearmente independentes. Portanto, as colunas de B são linearmente independentes. 2. Geradora: Para mostrar que as colunas de B geram o espaço vetorial Km×n, devemos verificar se qualquer vetor coluna em Km×n pode ser expresso como uma combinação linear das colunas de B. Seja v = [v1, v2, ..., vn] um vetor coluna qualquer em Km×n. Podemos escrever v como: v = v1 *  1 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 0 ... ... 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 0  + v2 *  0 1 . . . 0 0 0 0 . . . 0 0 ... ... 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 0  + ... + vn *  0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 0 ... ... 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 1 0  Portanto, as colunas de B geram o espaço vetorial Km×n. Assim, concluímos que a matriz B é uma base do espaço vetorial Km×n, especificamente a base canônica de Km×n.