13. Bastará demostrar que para cada n = 1, 2, . . . la familia finita Fn = {f1, f2, . . . , fn} es libre. Sea la igualdad λ1 cosx+ λ2 cos 2 x+ · ·...

13. Bastará demostrar que para cada n = 1, 2, . . . la familia finita Fn = {f1, f2, . . . , fn} es libre. Sea la igualdad λ1 cosx+ λ2 cos 2 x+ · · ·+ λn cosn x = 0 ∀x ∈ [0, π/2]. La aplicación g : [0, π/2]→ [0, 1] dada por g(x) = t = cosx sabemos que es una biyección, en consecuencia, la igualdad λ1t+λ2t 2+· · ·+λntn = 0 se ha de verificar para todo t ∈ [0, 1]. Queda por tanto una ecuación polinómica con infinitas ráıces, lo cual implica que el primer miembro ha de ser el polinomio nulo, es decir λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.