Como S1 genera a F1 y S2 genera a F2, se verifica u = λ1u1 + · · ·+ λnun y v = µ1v1 + · · ·+µmum para ciertos escalares λi, µj y ciertos vectores u...

Como S1 genera a F1 y S2 genera a F2, se verifica u = λ1u1 + · · ·+ λnun y v = µ1v1 + · · ·+µmum para ciertos escalares λi, µj y ciertos vectores ui ∈ F1, vj ∈ F2. Entonces, x = u+ v = λ1u1 + · · ·+ λnun + µ1v1 + · · ·+ µmum, con ui, vj ∈ S1 ∪ S2 para todo i, j. Concluimos que S1 ∪ S2 es sistema generador de F1 + F2.