problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (561)

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Caṕıtulo 14. Producto escalar
Si λ (a priori complejo) es un valor propio de A, existe un vector columna
x = (xi) ∈ Cn no nulo tal que Ax = λx. Multiplicando a la izquierda por x∗
queda x∗Ax = λx∗x. Teniendo en cuenta que
x∗x =
(
x1, . . . , xn
)x1...
xn
 = x1x1 + · · ·+ xnxn
= |x1|2 + . . .+ |xn|2 > 0,
el valor de λ es por tanto λ =
x∗Ax
x∗x
∈ R.
3. Valores propios de A :
χ(λ) = λ2 − (tr A)λ+ detA = λ2 − 4λ− 5 = 0⇔ λ = 5 ∨ λ = −1.
Subespacios propios:
V5 ≡
{
−2x1 + (2 + 2i)x2 = 0
(2− 2i)x1 − 4x2 = 0
, V−1 ≡
{
4x1 + (2 + 2i)x2 = 0
(2− 2i)x1 + 2x2 = 0.
Unas bases de estos subespacios propios son respectivamente:
B5 = {(2, 1− i)}, B−1 = {(1,−1 + i)}
14.16. Concepto de forma sesquilineal
1. Sea M ∈ Cm×n y la aplicación
f : Cm × Cn → C, f(x, y) = xtM y,
en donde x, y representan vectores columna de Cm y Cn respectivamente.
Demostrar que f es forma sesquilineal.
2. Sea E el espacio vectorial complejo de las funciones complejas continuas
definidas en el intervalo cerrado real [a, b]. Es decir, E = {x : [a, b] →
C, f continua.}. Demostrar que
f : E × E → C, f(x, y) =
∫ b
a
x(t) y(t) dt.
es una forma sequilineal.
	 Producto escalar
	 Concepto de forma sesquilineal