problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (563)

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Caṕıtulo 14. Producto escalar
f(x, αy) =
∫ b
a
x(t) αy(t) dt = α
∫ b
a
x(t) y(t) dt = αf(x, y).
Concluimos que f es forma sequilineal.
3. Claramente f(x, y) ∈ C pues la suma es finita. Para todo α ∈ C y para
todo x, y, z ∈ E,
(i) f(x+ y, z) =
∑
(xj + yj) zj =
∑
(xjzj + yjzj)
=
∑
xjzj +
∑
yjzj = f(x, z) + f(y, z),
f(αx, y) =
∑
(αxj)yj =
∑
α(xjyj) = α
∑
xjyj = αf(x, y).
(ii) f(x, y + z) =
∑
xjyj + zj =
∑
xj (yj + zj)
=
∑
xjyj +
∑
xjzj = f(x, y) + f(x, z),
f(x, αy) =
∑
xjαyj =
∑
xjα yj = α
∑
xjyj = αf(x, y).
Concluimos que f es forma sequilineal.
14.17. Expresión matricial de una forma sesquili-
neal
1. Sea f : E × F → C una forma sequilineal y BE = {u1, . . . , um}, BF =
{v1, . . . , vm} bases de E y F respectivamente. Sea A = [aij ] ∈ Cm×n dada
por aij = f(ui, uj). Demostrar que para todo x ∈ E y para todo y ∈ F se
verifica
f(x, y) = XtAY ,
siendo X el vector de coordenadas de x en B, e Y el de y en B.
2. Sean E y F espacios vectoriales sobre el cuerpo C ambos de dimensión
finita y f : E × F → K una forma sesquilineal. Sean BE y BF bases de E y
F respectivamente y A la matriz de f en las bases BE y BF .
Sea B′E una nueva base de E y B
′
F una nueva base de F. Sea P la matriz
de cambio de BE a B
′
E y Q la matriz de cambio de BF a B
′
F .
Demostrar que la matriz de la forma sesquilineal f en la nuevas bases B′E y
B′F es P
tAQ.
	 Producto escalar
	 Expresión matricial de una forma sesquilineal