Veamos que B′ es sistema libre. Consideremos cualquier combinación lineal de los vectores de B′ igualada a 0 : λ1f(u1) + · · ·+ λnf(un) = 0. Como ...

Veamos que B′ es sistema libre. Consideremos cualquier combinación lineal de los vectores de B′ igualada a 0 : λ1f(u1) + · · ·+ λnf(un) = 0. Como f es lineal, f(λ1u1 + · · ·+λnun) = 0, es decir λ1u1 + · · ·+λnun ∈ ker f y ker f = {0} por ser f inyectiva, luego λ1u1 + · · ·+ λnun = 0. Como B es libre, λ! = · · · = λn = 0 lo cual implica que B′ es libre. Veamos que B′ es sistema generador de F. Si y ∈ F, por ser f sobreyectiva existe x ∈ E tal que y = f(x). Por ser B base de E, x es combinación lineal de los vectores de B : x = x1u1 + · · ·+ xnun (xi ∈ K).