Caṕıtulo 10. Aplicaciones lineales El determinante de la matriz del sistema homogéneo anterior es ∆ 6= 0, por tanto la única solución es λ0 = ....

Caṕıtulo 10. Aplicaciones lineales
El determinante de la matriz del sistema homogéneo anterior es ∆ 6= 0, por tanto la única solución es λ0 = . . . = λn = 0.
⇐) Por reducción al absurdo. Si ∆ 6= 0, existe una columna combinación lineal de las demás. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que es la última. Dado que las aplicaciones lineales están determinadas conociendo los transformados de una base del espacio inicial, tenemos que hn es de la forma hn = µ0h0 + . . .+ µn−1hn−1 y {h0, . . . , hn} no es base de E∗.
10.27. Clasificación de una familia de endomor-fismos
Se consideran los homomorfismos fλ de un espacio vectorial real E de di-mensión 3 definidos por las ecuaciones
fλ(e1) = e1 + e2 + λe3
fλ(e2) = e1 + λe2 + e3
fλ(e1) = e1 + e2 + λ
2e3.
donde λ ∈ R y B = {e1, e2, e3} es una base de E.
1. Clasificar en función de λ los distintos endomorfismos fλ indicando su naturaleza. Para aquellos fλ que no sean automorfismos, definir la imagen y el núcleo. Para los que sean automorfismos, definir su inverso.
2. Dado el vector b = e1 + 2e2 + e3 disentir la existencia o no de solución de la ecuación fλ(x) = b.
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Caminos, UPM).
Solución. 1. Trasponiendo coeficientes obtenemos la matriz Aλ del endo-morfismo fλ respecto de la base B y la expresión matricial correspondiente.
A =
1 1 11 λ 1
λ 1 λ2
 ,
y1y2
y3
 = Aλ
x1x2
x3

Hallemos dim(Imfλ), es decir rg(Aλ). Efectuando las transformaciones por filas F2−F1, F3−λF1 y luego F3 +F2 obtenemos la forma escalonada de la matriz Aλ :
Aλ =
1 1 11 λ 1
λ 1 λ2
 ∼
1 1 10 λ− 1 0
0 1− λ λ2 − λ
 ∼
1 1 10 λ− 1 0
0 0 λ2 − λ
 .