De lo cual deducimos A5 = −4A A6 = −4A2 A7 = −4A3 A8 = (−4)2I  A9 = (−4)2A A10 = (−4)2A2 A11 = (−4)2A3 A12 = (−4)3I . . .  A4k...

De lo cual deducimos A5 = −4A A6 = −4A2 A7 = −4A3 A8 = (−4)2I  A9 = (−4)2A A10 = (−4)2A2 A11 = (−4)2A3 A12 = (−4)3I . . .  A4k+1 = (−4)kA A4k+2 = (−4)kA2 A4k+3 = (−4)kA3 A4k = (−4)kI para todo entero k ≥ 0. 5. Fijada una base B en un espacio vectorial E de dimensión n sobre el cuer- po K, sabemos que la aplicación entre el álgebra End E de los endomorfis- mos sobre E y el álgebra de matrices Kn×n que asocia a cada endomorfismo f ∈ End E su matriz con respecto a B, es un isomorfismo de álgebras. En consecuencia bastará hallar la dimensión del subespacio vectorial de R2×2 dado por F1 = { ∑ n∈N anAn : an ∈ R}. De los resultados del apartado 4. deducimos que este espacio está generado por el sistema de vectores {I, A,A3, A3}, es decir por los vectores I = [ 1 0 0 1 ] , A = [ 1 −1 1 1 ] , A2 = [ 0 −2 2 0 ] , A3 = [ −2 −2 2 −2 ] . Expresando estos vectores en coordenadas respecto de la base canónica de R2×2 tenemos dimF = dimF1 = rg  1 0 0 1 1 −1 1 1 0 −2 2 0 −2 −2 2 −2  = 2.