1. Verificar la validez del teorema de Cayley-Hamilton para la matriz A = [ 3 -1 2 1 ].

Para verificar a validade do teorema de Cayley-Hamilton para a matriz A, precisamos calcular o polinômio característico da matriz e substituí-lo na equação do teorema. Passo 1: Calcular o polinômio característico O polinômio característico é obtido encontrando o determinante da matriz A - λI, onde λ é uma variável e I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A. A - λI = [ 3 -1 2 1 ] - λ[ 1 0 0 1 ] = [ 3 -1 2 1 ] - [ λ 0 0 λ ] = [ 3 - λ -1 2 1 - λ ] Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz: det(A - λI) = (3 - λ)(1 - λ) - (-1)(2) = λ² - 4λ + 5 Portanto, o polinômio característico é p(λ) = λ² - 4λ + 5. Passo 2: Verificar o teorema de Cayley-Hamilton De acordo com o teorema de Cayley-Hamilton, substituímos a matriz A no polinômio característico p(λ) e o resultado deve ser a matriz nula. p(A) = A² - 4A + 5I Substituindo os valores da matriz A e da matriz identidade I: p(A) = [ 3 -1 2 1 ]² - 4[ 3 -1 2 1 ] + 5[ 1 0 0 1 ] Realizando as operações: p(A) = [ 3 -1 2 1 ] [ 3 -1 2 1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ 9 -3 6 3 -3 1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -2 -1 ] - [ 12 -4 8 4 ] + [ 5 0 0 5 ] = [ -3 -1 -