3. Se considera la matriz A = [ 4 2 3 3 ]. Hallar su potencia enésima (a) Por diagonalización. (b) Usando el teorema de Cayley-Hamilton.

Para calcular a potência enésima de uma matriz A, existem diferentes métodos. Vou explicar brevemente os dois métodos mencionados na pergunta: (a) Por diagonalização: Para calcular a potência enésima de uma matriz A por diagonalização, você precisa diagonalizar a matriz A. Isso envolve encontrar uma matriz diagonal D e uma matriz inversa P, de forma que A = PDP^(-1), onde D é a matriz diagonal contendo os autovalores de A. Então, a potência enésima de A é dada por A^n = PD^nP^(-1), onde D^n é a matriz diagonal obtida elevando cada elemento de D à potência n. (b) Usando o teorema de Cayley-Hamilton: O teorema de Cayley-Hamilton afirma que toda matriz satisfaz sua própria equação característica. Ou seja, se p(x) é o polinômio característico de A, então p(A) = 0. Para calcular a potência enésima de A usando esse teorema, você precisa encontrar o polinômio característico p(x) de A e substituir A^n por p(A^n) na equação p(A) = 0. Em seguida, você pode simplificar a equação e resolver para A^n. Lembrando que esses são apenas métodos gerais e a aplicação específica depende da matriz A fornecida.