7. Demostrar las propiedades (a) ( T t )t = T. (b) kerT = ( Im T t )⊥ , kerT t = (Im T )⊥ . 8. Demostrar las propiedades (a) T y T t tienen el mism...

7. Demostrar las propiedades
(a)
(
T t
)t
= T.
(b) kerT =
(
Im T t
)⊥
, kerT t = (Im T )⊥ .
8. Demostrar las propiedades
(a) T y T t tienen el mismo polinomio caracteŕıstico, en consecuencia los
mismos valores propios.
(b) Dos subespacios propios, uno de T y otro de T t que corresponden a dos
valores propios distintos son ortogonales.
Solución. 1. La expresiones matriciales de T y del producto escalar en la
base canónica son
T
(
x1
x2
)
=
(
1 −2
4 5
)(
x1
x2
)
,
〈x, y〉 =
(
x1 x2
)(2 0
0 3
)(
x1
x2
)
.
Las matrices de T y del producto escalar en la base canónica son por tanto
A =
(
1 −2
4 5
)
, G =
(
2 0
0 3
)
.
En consecuencia la matriz de T t en la base canónica es
G−1AtG =
(
1/2 0
0 1/3
)(
1 4
−2 5
)(
2 0
0 3
)
=
(
2 6
−4/3 5
)
,
y su expresión matricial en dicha base:
T t
(
x1
x2
)
=
(
2 6
−4/3 5
)(
x1
x2
)
,
o equivalentemente:
T t(x1, x2) = (2x1 + 6x2,−4x1/3 + 5x2).
2. (i) Fácilmente verificamos (son integrales inmediatas) que para todo i, j =
1, 2, 3, 〈pi(x), pj(x)〉 = δij (deltas de Kronecker) y por tanto la base B es
ortonormal.
(ii) Transponiendo coeficientes, obtenemos la matriz A de T en la base B :
A =
 2 0 00 2 0
−1 5 1
 .