R10.2) Teste de hipótese simples contra alternativa simples com modelo Normal de variância conhecida Queremos testar a hipótese HQ :1=50 contra a a...

R10.2) Teste de hipótese simples contra alternativa simples com modelo Normal de variância conhecida
Queremos testar a hipótese HQ :1=50 contra a alternativa H .1:ip=52, onde yu é a média populacio-
nal de uma distribuição Normal com variância conhecida o =16 . Temos então n variáveis aleatórias iid
X,,X7,---, X, , que seguem todas essa lei de probabilidade, e a média amostral X será usada como estatística
388 ba CAPÍTULO 10 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS TESTES DE HIPÓTESES
FLSEVIEFR
de teste. Como 50 < 52, é claro que quanto maior for X maiores serão as razões para se rejeitar H, em favor
de H,. Então o critério de decisão adequado será da forma: rejeitar H,, se X,, > X., e aceitar H., se X.,, SXc;
onde x, é uma constante a determinar em função de outras condições a serem especificadas.
a) Se n=30 e fixarmos P(Erro 1) em o =0,01, quais devem ser o critério de decisão e 3 = P(Erro ID)?
b) Mostre que se o tamanho da amostra for mantido em n=30, ao fazermos com que o ponto de corte
X, se mova para a esquerda de forma que B diminua, a necessariamente aumentará.
c) Quais devem ser o critério de decisão e o tamanho n da amostra para que a probabilidade do Erro II
se reduza a [= 0,05, mantendo a probabilidade do Erro I em o =0,01?
SOLUÇÃO:
a) Sabemos que 0,01=a = P(Erro I)= P(Rejeitar H, ) , se H, é verdadeira.
X—-50 x, 50 p|2> E , onde Z - N(0;1).
PA Ee) ão
= 2,33 (valor obtido da tabela da Normal Padrão) => XxX =51,70,
Então 0,01=P[X>X,],se nu=50 => 0,01=P
I Xe —= 50
Ogo, 8g A
70
Por outro lado, B = P(Aceitar H,) , se H, é falsa, ou seja, B= P[X <51, 70] ,se 1u=52.
Xx- 52, 51,70— 52
Sm Tm
uma probabilidade de erro.
Então, B=P =P(Z<—0,412) = 0,340, o que é um valor excessivamente alto para
Assim, para que [=P(Erro II) diminuísse (mantendo n =30), a única alternativa possível seria des-
locar o ponto de corte X. para a esquerda, e desse modo reduzir a região de aceitação. Isso é o que faremos
no item (b) a seguir.
b) Vamos fazer com que o ponto de corte X. decresça de 0,1 em O,1, desde 51,6 até 50,6.
Assim, teremos, para cada valor possível de Xe, a=P| Z E ep =P |Z2< XE
Fazendo os cálculos, montamos a tabela a seguir: Do 30 Sm 20
Xe B a Xe B a
51,6 0,292 | 0,014 51,0 | 0,085 | 0,085
51,5 0,247 | 0,020 50,9 | 0,066 | 0,109
51,4 0,206 | 0,028 50,8 | 0,050 | 0,137
51,3 0,169 | 0,038 50,7 | 0,038 | 0,169
51,2 0,137 | 0,050 50,6 | 0,028 | 0,206
51,1 0,109 | 0,066
que dá origem ao seguinte gráfico:
389 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
a, B
0,350
0,300
0,250
0,200
0,150
0,100 FPDZc2ãê
0,050 = =
Y

0,000 T T T T T T T
50,4 50,6 50,8 51 51,2 51,4 51,6 51,8
Para um caso similar, ver a Figura 10.1.
c) Temos 0,01=a =P(Erro1)= P(Rejeitar H, jm se H, é verdadeira.
Então, por um raciocínio análogo ao dos itens anteriores, chegamos a
— 50), x-50
El Xe
Analogamente, 0,05=[B=P(Erro II) = P(Aceitar H,), se H, é falsa. Daí,
0,01 P =2,38.
Xe = 52) , X-52
ZE) Th
0,05=P|Z< =—1,64. aD
OD
ELSEVIER
Resolvendo o sistema de duas equações a duas incógnitas formado pelas equações (1) e (ID), obtemos
XxX, =51,17 e n=63,08 =63. Isso mostra que, de fato, para podermos reduzir o valor de À sem que a cresça,
é necessário aumentar o tamanho n da amostra.
R10.3) O Lema de Neymann-Pearson e o teste da média
Seja X uma v.a. contínua cuja função de densidade depende do parâmetro O. Então, se X,,X1,...,X, é
uma amostra aleatória de X, sabemos que a função de verossimilhança de 0 é dada por L(0) = TI (x,;0), para
todo O. Suponha que queremos testar a hipótese simples H,: 6 = O, contra a alternativa simples H, :0=90,,
ao nível de significância a. Prova-se que: