A6) Considere a seguinte operação ⊕ definida sobre o conjunto dos números reais não negativos: x ⊕ y = √(x2 + y2). Verifique se ⊕ é comutativa...

Para verificar se a operação ⊕ é comutativa, precisamos verificar se x ⊕ y é igual a y ⊕ x para todos os valores de x e y no conjunto dos números reais não negativos. Vamos testar essa propriedade com dois valores arbitrários, x = 2 e y = 3: x ⊕ y = √(2^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13 y ⊕ x = √(3^2 + 2^2) = √(9 + 4) = √13 Podemos ver que x ⊕ y é igual a y ⊕ x, portanto, a operação ⊕ é comutativa. Para verificar se a operação ⊕ é associativa, precisamos verificar se (x ⊕ y) ⊕ z é igual a x ⊕ (y ⊕ z) para todos os valores de x, y e z no conjunto dos números reais não negativos. Vamos testar essa propriedade com três valores arbitrários, x = 1, y = 2 e z = 3: (x ⊕ y) ⊕ z = (√(1^2 + 2^2)) ⊕ 3 = √(5) ⊕ 3 = √(5^2 + 3^2) = √34 x ⊕ (y ⊕ z) = 1 ⊕ (√(2^2 + 3^2)) = 1 ⊕ √(13) = √(1^2 + (√(13))^2) = √14 Podemos ver que (x ⊕ y) ⊕ z não é igual a x ⊕ (y ⊕ z), portanto, a operação ⊕ não é associativa. Para verificar se a operação ⊕ tem elemento neutro, precisamos encontrar um valor neutro e verificar se x ⊕ neutro é igual a x para todos os valores de x no conjunto dos números reais não negativos. Vamos testar essa propriedade com um valor arbitrário, x = 4: x ⊕ neutro = 4 ⊕ √(neutro^2) = √(4^2 + neutro^2) = √(16 + neutro^2) Para que x ⊕ neutro seja igual a x, precisamos que √(16 + neutro^2) seja igual a 4. Isso só seria possível se neutro fosse igual a 0. Portanto, o elemento neutro da operação ⊕ é 0. Para verificar se existem elementos invertíveis, precisamos encontrar um valor invertível e verificar se existe um valor que, quando combinado com ele usando a operação ⊕, resulta no elemento neutro. Vamos testar essa propriedade com um valor arbitrário, x = 5: x ⊕ invertível = 5 ⊕ √(invertível^2) = √(5^2 + invertível^2) Para que x ⊕ invertível seja igual ao elemento neutro (0), precisamos que √(5^2 + invertível^2) seja igual a 0. No entanto, isso não é possível, pois a raiz quadrada de um número não negativo sempre será maior que 0. Portanto, não existem elementos invertíveis na operação ⊕ sobre o conjunto dos números reais não negativos. Resumindo: - A operação ⊕ é comutativa. - A operação ⊕ não é associativa. - O elemento neutro da operação ⊕ é 0. - Não existem elementos invertíveis na operação ⊕ sobre o conjunto dos números reais não negativos.