1) a - 1.5) Calcule ∫ x ln(x + 1)dx. (dica: faça uma substituição de variáveis e depois integre por partes) b - 0.5) Verifique se a derivada da...

a) Para calcular a integral ∫ x ln(x + 1)dx, podemos fazer uma substituição de variáveis. Vamos considerar u = ln(x + 1), então du = (1 / (x + 1))dx. Agora, vamos substituir na integral: ∫ x ln(x + 1)dx = ∫ u du Integrando u em relação a u, temos: ∫ u du = (1/2)u^2 + C Substituindo u = ln(x + 1), temos: (1/2)ln^2(x + 1) + C Portanto, a resposta para a integral é (1/2)ln^2(x + 1) + C. b) Para verificar se a derivada da resposta no item (a) resulta em x ln(x + 1), vamos derivar a expressão (1/2)ln^2(x + 1) em relação a x: d/dx [(1/2)ln^2(x + 1)] = (1/2) * 2ln(x + 1) * (1 / (x + 1)) = ln(x + 1) / (x + 1) Podemos observar que a derivada resulta em x ln(x + 1), portanto, a resposta está correta.