La función matemática que describe una espiral se puede expresar utilizando coordenadas rectangulares (o cartesianas). Sin embargo, si cambiamos nu...

La función matemática que describe una espiral se puede expresar utilizando coordenadas rectangulares (o cartesianas). Sin embargo, si cambiamos nuestro sistema de coordenadas a algo que funcione un poco mejor con los patrones circulares, la función se vuelve mucho más sencilla de describir. El sistema de coordenadas polares es adecuado para describir curvas de este tipo. En este capítulo también estudiamos las ecuaciones paramétricas, que nos brindan una manera conveniente de describir curvas o de estudiar la posición de una partícula u objeto en dos dimensiones en función del tiempo. Usaremos ecuaciones paramétricas y coordenadas polares para describir muchos temas más adelante en este texto. 1.2 Ecuaciones paramétricas En esta sección examinamos las ecuaciones paramétricas y sus gráficas. En el sistema de coordenadas bidimensional, las ecuaciones paramétricas son útiles para describir curvas que no son necesariamente funciones. El parámetro es una variable independiente de la que tanto x como y dependen, y a medida que aumenta el parámetro, los valores de e trazan un camino a lo largo de una curva plana. Por ejemplo, si el parámetro es (una opción común), entonces podría representar el tiempo. Luego, e se definen como funciones de tiempo, y puede describir la posición en el plano de un objeto dado a medida que se mueve a lo largo de una trayectoria curva. 1.2.1 Ecuaciones paramétricas y sus gráficas Considera la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Nuestro año dura aproximadamente 365.25 días, pero para esta discusión usaremos 365 días. x y t t x y (x(t), y(t)) 14 / El 1 de enero de cada año, la ubicación física de la Tierra con respecto al Sol es casi la misma, excepto en los años bisiestos, cuando el retraso introducido por los 14 días adicionales de tiempo de órbita se incluye en el calendario. Llamamos al 1 de enero 'día 1' del año. Luego, por ejemplo, el día 31 es el 31 de enero, el día 59 es el 28 de febrero y así sucesivamente. Figura 1.1. La órbita de la Tierra alrededor del Sol en un año. El número del día en un año puede considerarse una variable que determina la posición de la Tierra en su órbita. A medida que la Tierra gira alrededor del Sol, su ubicación física cambia en relación con el Sol. Después de un año completo, estamos de vuelta donde empezamos y comienza un nuevo año. Según las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario, la forma de la órbita es elíptica, con el Sol en un foco de la elipse. Estudiamos esta idea con más detalle en las secciones cónicas. La figura muestra la órbita de la Tierra alrededor del Sol durante un año. El punto etiquetado es uno de los focos de la elipse; el otro foco está ocupado por el sol. F2 15 / Si superponemos los ejes de coordenadas sobre este gráfico, entonces podemos asignar pares ordenados a cada punto de la elipse (Figura 1.2). Luego, cada valor de en el gráfico es un valor de posición en función del tiempo, y cada valor de también es un valor de posición en función del tiempo. Por lo tanto, cada punto en el gráfico corresponde a un valor de la posición de la Tierra en función del tiempo. Figura 1.2. Ejes de coordenadas superpuestos a la órbita de la Tierra. Podemos determinar las funciones para y , parametrizando así la órbita de la Tierra alrededor del Sol. La variable se llama parámetro independiente y, en este contexto, representa el tiempo relativo al comienzo de cada año. Una curva en el plano puede representarse paramétricamente. Las ecuaciones que se utilizan para definir la curva se denominan ecuaciones paramétricas.