problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (650)

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16.12 Familia de polinomios p(x2) = p(x)p(x+ 1)
a = cos 720 = (−1+
√
5)/4 (elegimos el signo + pues cos 720 > 0 ). Hallemos
sin 720 :
b = sin 720 =
√√√√1−(−1 +√5
4
)2
=
√
10 + 2
√
5
16
=
1
4
√
10 + 2
√
5.
Además, p = 1, q = 4,m = 2, e = 10, f = 2, n = 2, g = 5, β = 1.
16.12. Familia de polinomios p(x2) = p(x)p(x+ 1)
Se considera el conjunto
E = { p(x) ∈ R[x]− {0} : p(x2) = p(x)p(x+ 1)}.
1. Demostrar que todo polinomio de E es normalizado, es decir el coeficiente
de mayor grado es 1. 2. Demostrar que toda constante de E es igual a 1.
3. Demostrar que si a ∈ C es ráız de un polinomio p(x) ∈ E entonces también
lo son a2 y (a− 1)2.
4. Calcular las posibles ráıces complejas de cualquier p(x) ∈ E.
5. Aplicando el resultado anterior, determinar el conjunto E.
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. Industriales, UPM).
Solución. 1. Todo polinomio p(x) ∈ E es de la forma p(x) = a0 + a1x +
. . .+ anx
n con an 6= 0. Además
p(x2) = a0 + a1x
2 + a2x
4 + . . .+ anx
2n, p(x+ 1)
= a0 + a1(x+ 1) + a2(x+ 1)
2 + . . .+ an(x+ 1)
n.
Si p(x2) = p(x)p(x+1) entonces (igualando los coeficientes de x2) se verifica
an = a
2
n o de forma equivalente an(an − 1) = 0. Se deduce que an = 0 o
an = 1. Como an 6= 0, ha de ser an = 1, es decir todo polinomio de E es
mónico o normalizado.
2. Si p(x) ∈ E es constante entonces es de la forma p(x) = a0. Como p(x)
es normalizado, ha de ser necesariamente a0 = 1.
3. Si a es ráız de p(x) entonces p(a) = 0. Usando p(x2) = p(x)p(x + 1)
obtenemos
p(a2) = p(a)p(a− 1) = 0 · p(a+ 1) = 0,
p
(
(a− 1)2
)
= p(a− 1)p(a) = p(a− 1) · 0 = 0.
	Polinomios en una variable
	 Familia de polinomios p(x2)=p(x)p(x+1)