[Combinação Linear] (1,0 ponto) Escreva o seguinte vetor ω = (7, 5, -4) como combinação linear dos vetores μ = (2, −2, 1) e v = (−1, −3, 2) do ℝ3 .

Para escrever o vetor ω = (7, 5, -4) como combinação linear dos vetores μ = (2, -2, 1) e v = (-1, -3, 2) do ℝ3, precisamos encontrar os coeficientes que multiplicam cada vetor de forma que a soma das multiplicações seja igual a ω. Podemos escrever a combinação linear da seguinte forma: ω = aμ + bν Onde a e b são os coeficientes que queremos encontrar. Agora, vamos igualar as coordenadas correspondentes dos vetores: 7 = 2a - b 5 = -2a - 3b -4 = a + 2b Podemos resolver esse sistema de equações utilizando métodos como substituição ou eliminação. Vou usar o método de substituição para encontrar os valores de a e b. A partir da primeira equação, podemos isolar a em termos de b: 2a = b + 7 a = (b + 7)/2 Substituindo esse valor de a na segunda equação, temos: 5 = -2((b + 7)/2) - 3b 5 = -b - 7 - 3b 5 = -4b - 7 4b = -7 - 5 4b = -12 b = -12/4 b = -3 Agora, substituindo o valor de b na primeira equação, temos: 7 = 2a - (-3) 7 = 2a + 3 2a = 7 - 3 2a = 4 a = 4/2 a = 2 Portanto, o vetor ω = (7, 5, -4) pode ser escrito como combinação linear dos vetores μ = (2, -2, 1) e v = (-1, -3, 2) da seguinte forma: ω = 2μ - 3v