Prova por indução Para provar 12 + 22 ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1); sendo n = 1, temos: 6 12 = 1(1 + 1)(2 + 1) 1 = 6 1 ...
Para provar 12 + 22 ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1); sendo n = 1, temos:
6
12 = 1(1 + 1)(2 + 1) 1 = 6 1 = 1;
6
Para que seja verdade n = k para provar que k+1 vale, então:
12 + 22 ... + n2 + (n + 1)2 = (n + 1)(n + 2)
6
Substituindo:
n(n+1)(2n+1)+(n+1)2 = (n+1)(n+2)(2n+3) n(n+1)(2n+1)+6(n+1)2 = (n+1)(n+2)(2n+3)
6 6 6 6
Colocando n+1 em evidência no primeiro lugar da igualdade:
[n + 1] * [n(2n + 1) + 6(n + 1)] = (n + 1)(n + 2)(2n + 3) (i)
6 6
Ficando então:
n * (2n + 1) + 6(n + 1) = 2n2 + n + 6n + 6 = 2n2 +4n + 3n + 6 n + 6n = 4n + 3n
= 2n2 + 4n + 3n + 6 = 2n(n + 2) + 3(n + 2) = (2n + 3)(n + 2)
Substituindo em (i), temos:
[n + 1] * [(2n + 3)(n + 2)] = (n + 1)(n + 2)(2n + 3)
6 6
💡 1 Resposta
Ed 
A prova por indução é um método matemático utilizado para demonstrar que uma afirmação é verdadeira para todos os valores de uma variável. No caso da questão apresentada, a afirmação a ser provada é: 12 + 22 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1) A prova por indução é composta por duas etapas: a base da indução e o passo da indução. Na base da indução, é necessário verificar se a afirmação é verdadeira para o valor inicial da variável, que no caso é n = 1. Substituindo n = 1 na expressão, temos: 12 = 1(1 + 1)(2 + 1) 1 = 6 Nesse caso, a afirmação não é verdadeira para n = 1, pois 1 não é igual a 6. Portanto, a prova por indução não é válida para a expressão apresentada.
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