Em cada caso abaixo, calcule os coeficientes de Fourier do vetor v, em relação ao conjunto B dado, sendo que o espaço vetorial V é considerado ...

Para calcular os coeficientes de Fourier do vetor v em relação ao conjunto B dado, é necessário utilizar a fórmula: c_k = (v, b_k) / (b_k, b_k) Onde v é o vetor dado, b_k é um vetor do conjunto B e (., .) representa o produto interno canônico. Vamos calcular os coeficientes de Fourier para cada caso: (a) V = R^2, v = (5, -2) e B = {(1, 1), (1, -1)}. Para o primeiro vetor de B: c_1 = ((5, -2), (1, 1)) / ((1, 1), (1, 1)) = (5 + (-2)) / (1 + 1) = 3 / 2 = 1.5 Para o segundo vetor de B: c_2 = ((5, -2), (1, -1)) / ((1, -1), (1, -1)) = (5 + 2) / (1 + 1) = 7 / 2 = 3.5 Portanto, os coeficientes de Fourier para o vetor v em relação ao conjunto B são c_1 = 1.5 e c_2 = 3.5. (b) V = C^3, v = (2, -3, i) e B = {(1, -1, 1), (1, 2, 1), (1, 0, -1)}. Para o primeiro vetor de B: c_1 = ((2, -3, i), (1, -1, 1)) / ((1, -1, 1), (1, -1, 1)) = (2 + 3i + i) / (1 + 1 + 1) = (2 + 4i) / 3 Para o segundo vetor de B: c_2 = ((2, -3, i), (1, 2, 1)) / ((1, 2, 1), (1, 2, 1)) = (2 - 6i + i) / (1 + 4 + 1) = (-4i + 3) / 6 Para o terceiro vetor de B: c_3 = ((2, -3, i), (1, 0, -1)) / ((1, 0, -1), (1, 0, -1)) = (2 + 3i - i) / (1 + 0 + 1) = (2 + 2i) / 2 = 1 + i Portanto, os coeficientes de Fourier para o vetor v em relação ao conjunto B são c_1 = (2 + 4i) / 3, c_2 = (-4i + 3) / 6 e c_3 = 1 + i. (c) V = P^3(R), v = 2 - t + t^2 + 2t^3 e B = {t, 1 + t^3, 1 + 2t^2 - t^3, 1 - t^2 - t^3}. Para o primeiro vetor de B: c_1 = (2 - t + t^2 + 2t^3, t) / (t, t) = (2t - t^2 + t^3 + 2t^4) / t = 2 - t + t^2 + 2t^3 Para o segundo vetor de B: c_2 = (2 - t + t^2 + 2t^3, 1 + t^3) / (1 + t^3, 1 + t^3) = (2 - t + t^2 + 2t^3 + t^3 + t^4) / (1 + t^3)^2 = (2 - t + t^2 + 3t^3 + t^4) / (1 + 2t^3 + t^6) Para o terceiro vetor de B: c_3 = (2 - t + t^2 + 2t^3, 1 + 2t^2 - t^3) / (1 + 2t^2 - t^3, 1 + 2t^2 - t^3) = (2 - t + t^2 + 2t^3 + 2t^2 - 2t^3 + t^4) / (1 + 2t^2 - t^3)^2 = (2 + t + 3t^2 + t^4) / (1 + 4t^2 + t^6) Para o quarto vetor de B: c_4 = (2 - t + t^2 + 2t^3, 1 - t^2 - t^3) / (1 - t^2 - t^3, 1 - t^2 - t^3) = (2 - t + t^2 + 2t^3 + t^2 + t^3 + t^4) / (1 - 2t^2 + t^6) Portanto, os coeficientes de Fourier para o vetor v em relação ao conjunto B são c_1 = 2 - t + t^2 + 2t^3, c_2 = (2 - t + t^2 + 3t^3 + t^4) / (1 + 2t^3 + t^6), c_3 = (2 + t + 3t^2 + t^4) / (1 + 4t^2 + t^6) e c_4 = (2 - t + t^2 + 2t^3 + t^2 + t^3 + t^4) / (1 - 2t^2 + t^6).