Questão 10: Considere o espaço vetorial V = R3. Sejam U = Span{(1, 1, 0)} e W = Span{(1, 1, 1)}. a) Mostre que U +W é um subespaço vetorial de ...

a) Para mostrar que U + W é um subespaço vetorial de V, precisamos verificar se ele satisfaz as três propriedades de um subespaço vetorial: - Contém o vetor nulo: 0 = (0, 0, 0) pertence a U + W, pois pode ser escrito como 0*(1, 1, 0) + 0*(1, 1, 1). - É fechado sob adição: se u = a*(1, 1, 0) e w = b*(1, 1, 1) pertencem a U e W, respectivamente, então u + w = (a + b)*(1, 1, 1) + a*(-1, -1, 1) pertence a U + W. - É fechado sob multiplicação por escalar: se u = a*(1, 1, 0) pertence a U, então k*u = k*a*(1, 1, 0) pertence a U + W para qualquer escalar k. O mesmo vale para w = b*(1, 1, 1) pertencente a W. Portanto, U + W é um subespaço vetorial de V. b) Para verificar se a soma U + W é direta, precisamos verificar se a interseção entre U e W é apenas o vetor nulo. Seja x = a*(1, 1, 0) = b*(1, 1, 1) um vetor que pertence a U e W. Então, temos o sistema de equações: a = b a = b 0 = a A solução é a = b = 0, o que significa que a interseção entre U e W é apenas o vetor nulo. Portanto, a soma U + W é direta.