Questão 9: Considere o espaço vetorial V = R3. Seja W = {(x, y, z) ∈ R3;x+ 2y − z = 0} ⊂ V . a) Mostre que W é um subespaço vetorial de V . b) ...

a) Para mostrar que W é um subespaço vetorial de V, precisamos verificar se ele satisfaz as três condições abaixo: 1. O vetor nulo de V pertence a W. 2. W é fechado sob a adição de vetores. 3. W é fechado sob a multiplicação por um escalar. 1. O vetor nulo de V é (0, 0, 0). Substituindo x = y = z = 0 na equação de W, temos 0 + 2(0) - 0 = 0, o que significa que o vetor nulo de V pertence a W. 2. Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) vetores quaisquer de W. Então, temos: u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) (x1 + x2) + 2(y1 + y2) - (z1 + z2) = (x1 + 2y1 - z1) + (x2 + 2y2 - z2) = 0 + 0 = 0 Portanto, u + v pertence a W e W é fechado sob a adição de vetores. 3. Seja k um escalar qualquer e u = (x, y, z) um vetor de W. Então, temos: k.u = (kx, ky, kz) kx + 2ky - kz = k(x + 2y - z) = k.0 = 0 Portanto, k.u pertence a W e W é fechado sob a multiplicação por um escalar. Assim, W é um subespaço vetorial de V. b) Para determinar uma base para W, precisamos encontrar um conjunto de vetores linearmente independentes que geram W. Podemos reescrever a equação de W como z = x + 2y e escolher dois vetores que satisfaçam essa condição, por exemplo: u = (1, 0, 1) v = (0, 1, 2) Verificamos que ambos pertencem a W, pois: 1 + 2(0) - 1 = 0 0 + 2(1) - 2 = 0 Além disso, eles são linearmente independentes, pois nenhum deles pode ser escrito como combinação linear do outro. Portanto, a base de W é {u, v}.