Exerćıcio 1. Calcule ∫ e2x sen x dx.

Para calcular a integral ∫ e^(2x) sen(x) dx, podemos usar integração por partes. A fórmula de integração por partes é dada por: ∫ u dv = uv - ∫ v du Vamos escolher u = sen(x) e dv = e^(2x) dx. Então, temos du = cos(x) dx e v = (1/2)e^(2x). Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ e^(2x) sen(x) dx = - (1/2)e^(2x) cos(x) - ∫ -(1/2)e^(2x) cos(x) dx Simplificando, temos: ∫ e^(2x) sen(x) dx = - (1/2)e^(2x) cos(x) + (1/2)∫ e^(2x) cos(x) dx Agora, vamos calcular a integral ∫ e^(2x) cos(x) dx. Novamente, podemos usar integração por partes. Escolhendo u = cos(x) e dv = e^(2x) dx, temos du = -sen(x) dx e v = (1/2)e^(2x). Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ e^(2x) cos(x) dx = (1/2)e^(2x) cos(x) - ∫ (1/2)e^(2x) (-sen(x)) dx Simplificando, temos: ∫ e^(2x) cos(x) dx = (1/2)e^(2x) cos(x) + (1/2)∫ e^(2x) sen(x) dx Agora, vamos substituir essa integral na primeira equação: ∫ e^(2x) sen(x) dx = - (1/2)e^(2x) cos(x) + (1/2)((1/2)e^(2x) cos(x) + (1/2)∫ e^(2x) sen(x) dx) Agora, vamos isolar a integral no lado esquerdo da equação: ∫ e^(2x) sen(x) dx - (1/2)∫ e^(2x) sen(x) dx = - (1/2)e^(2x) cos(x) + (1/2)((1/2)e^(2x) cos(x)) Simplificando, temos: (1/2)∫ e^(2x) sen(x) dx = - (1/2)e^(2x) cos(x) + (1/4)e^(2x) cos(x) Multiplicando ambos os lados por 2, temos: ∫ e^(2x) sen(x) dx = - e^(2x) cos(x) + (1/2)e^(2x) cos(x) Portanto, a integral de ∫ e^(2x) sen(x) dx é igual a - e^(2x) cos(x) + (1/2)e^(2x) cos(x).