Use a integração por partes para deduzir a seguinte fórmula de redução: ∫ cos^n x dx = (1/n) cos^(n-1) x sen x + (n-1)/n ∫ cos^(n-2) x dx.

Claro! Vamos usar a integração por partes para deduzir a fórmula de redução para a integral de cos^n(x) dx. Começamos com a fórmula de integração por partes: ∫ u dv = uv - ∫ v du Vamos escolher u = cos^(n-1)(x) e dv = cos(x) dx. Portanto, du = (n-1) cos^(n-2)(x) (-sen(x)) dx e v = sen(x). Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ cos^n(x) dx = ∫ u dv = u v - ∫ v du = cos^(n-1)(x) sen(x) - ∫ sen(x) (n-1) cos^(n-2)(x) (-sen(x)) dx = cos^(n-1)(x) sen(x) + (n-1) ∫ cos^(n-2)(x) sen^2(x) dx Agora, vamos usar a identidade trigonométrica sen^2(x) = 1 - cos^2(x): ∫ cos^n(x) dx = cos^(n-1)(x) sen(x) + (n-1) ∫ cos^(n-2)(x) (1 - cos^2(x)) dx = cos^(n-1)(x) sen(x) + (n-1) ∫ cos^(n-2)(x) dx - (n-1) ∫ cos^n(x) dx Agora, vamos isolar a integral de cos^n(x) dx: ∫ cos^n(x) dx + (n-1) ∫ cos^n(x) dx = cos^(n-1)(x) sen(x) + (n-1) ∫ cos^(n-2)(x) dx Simplificando, temos: n ∫ cos^n(x) dx = cos^(n-1)(x) sen(x) + (n-1) ∫ cos^(n-2)(x) dx Dividindo ambos os lados por n, obtemos a fórmula de redução: ∫ cos^n(x) dx = (1/n) cos^(n-1)(x) sen(x) + (n-1)/n ∫ cos^(n-2)(x) dx E essa é a fórmula de redução para a integral de cos^n(x) dx.