Uma equação foi descrita da seguinte maneira:  (k² – 4)x² + (k + 2)x – 8 = 0 Com base em seus coeficientes, analise as proposições: I. Se k = 2 ...

Analisando as proposições com base nos coeficientes da equação, podemos verificar o seguinte: I. Se k = 2, temos uma equação do primeiro grau com raiz positiva. Substituindo k = 2 na equação, temos: (2² - 4)x² + (2 + 2)x - 8 = 0 (4 - 4)x² + 4x - 8 = 0 0x² + 4x - 8 = 0 4x - 8 = 0 4x = 8 x = 2 Portanto, a equação possui uma raiz positiva quando k = 2. A proposição I está correta. II. Se k = 3, temos uma equação do segundo grau sem raízes reais. Substituindo k = 3 na equação, temos: (3² - 4)x² + (3 + 2)x - 8 = 0 (9 - 4)x² + 5x - 8 = 0 5x² + 5x - 8 = 0 Para determinar se a equação possui raízes reais, podemos calcular o discriminante: Δ = b² - 4ac Δ = 5² - 4(5)(-8) Δ = 25 + 160 Δ = 185 Como o discriminante Δ é maior que zero, a equação possui raízes reais. Portanto, a proposição II está incorreta. III. Se 1 é uma solução da equação, então k pode assumir dois valores reais e diferentes. Substituindo x = 1 na equação, temos: (k² - 4)(1)² + (k + 2)(1) - 8 = 0 (k² - 4) + (k + 2) - 8 = 0 k² + k - 10 = 0 Para determinar os valores de k, podemos resolver a equação quadrática: (k - 2)(k + 5) = 0 Portanto, k pode assumir dois valores reais e diferentes: k = 2 e k = -5. A proposição III está correta. Com base nas análises, podemos concluir que apenas as proposições I e III estão corretas. Portanto, a alternativa correta é a "Alternativa 1: apenas I e III estão corretas".