Aula 03 Exatas Fator Integrante Linear

Prévia do material em texto

Aula 3: Exatas
Equações Diferenciais Exatas
DEFINIÇÃO. Uma expressão diferencial
				M(x,y) dx + N(x,y) dy 
 é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de alguma função f(x,y). Uma equação diferencial da forma 		
			M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0	 é chamada de uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata.
Teorema. Critério para uma Diferencial Exata.
Sejam M(x,y) e N(x,y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região retangular R definida por a<x<b , c<y<d. Então, uma condição necessária e suficiente para que 	M(x,y) dx + N(x,y) dy seja uma diferencial exata é 
Método de Resolução
Exemplo1 . Resolva 2xy dx + (x2+1) dy =0
 A EDO é Exata.
 Logo , temos que:
Exemplo2 . Resolva (2x+y)dx + (x-2y)dy =0
  é Exata. 
Logo, temos que:
Exemplo3 . Resolva (x2 -y2)dx – 2xydy =0
	 é Exata. 
Logo , temos que:
Exemplo4 
Resolva (x3 + y2) dx +(2xy + cos y)dy =0
										 				 é Exata. Logo, temos que
Fator Integrante
Mdx +Ndy = 0 (não exata)
I  função tal que 
IM dx + IN dy = 0
Exemplo
Resolver a equação 2xy dy + (x2 – y2) dx = 0 , fazendo o uso do fator integrante.
Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem
Será do tipo 
 
Onde P e Q são funções contínuas definidas num mesmo
intervalo I. 
Se Q = 0 em I, então diremos que a equação acima é
LINEAR HOMOGÊNEA DE 1ª. ORDEM .
Fórmula para soluções de uma equação diferencial
linear de 1ª. Ordem
Exemplo